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CHAPITRE 7
Fonctions trigonométriques
Capacités au programme :
✓ Connaître la dérivée des fonctions sinus et cosinus.
✓ Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
✓ Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.
I) Vade-mecum de trigonométrie niveau première
Ceci n’est qu’un résumé de cours. Pour plus de détails, on se réfèrera à un cours de première. On
munit le plan d’un repère orthonormé (O, #»
𝚤 , #»
𝚥 )et on note 𝒞 le cercle trigonométrique, c’est à dire le
cercle de centre O et de rayon 1.
Théorème 1 : (et définition)
Pour tout nombre réel 𝑥, il existe un unique point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté
# »
#»̂
( 𝑖 , OM) ait pour mesure 𝑥 radians. L’abscisse de M est notée cos 𝑥 et son ordonnée sin 𝑥, on les
appelle le cosinus et le sinus du nombre réel 𝑥.
M
sin 𝑥
𝑥
O
cos 𝑥
Fig. 7.1 : Cosinus et sinus d’un nombre réel.
Théorème 2 :
Pour tout réel 𝑥, cos(𝑥 + 2π) = cos 𝑥 et sin(𝑥 + 2π) = sin 𝑥. De plus cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1.
Théorème 3 : (Cosinus et sinus d’angles remarquables)
x
0
sin x
0
cos x
1
π
6
1
2
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
√
3
2
1
2
π
2
1
0
60
Chapitre 7 : Fonctions trigonométriques
Théorème 4 : (Cosinus et sinus d’angles associés)
Pour tout réel 𝑥,
1) cos(−𝑥) = cos 𝑥 et sin(−𝑥) = − sin(𝑥) ;
4) cos(𝑥 + π) = − cos 𝑥 et sin(𝑥 + π) = − sin 𝑥 ;
2) cos( π2 − 𝑥) = sin 𝑥 et sin( π2 − 𝑥) = cos 𝑥 ;
3) cos(π − 𝑥) = − cos 𝑥 et sin(π − 𝑥) = sin 𝑥 ;
5) cos(𝑥 + π2 ) = − sin 𝑥 et sin(𝑥 + π2 ) = cos 𝑥 ;
6) cos(𝑥 − π2 ) = sin 𝑥 et sin(𝑥 − π2 ) = − cos 𝑥.
Théorème 5 : (Résolution d’équations trigonométriques élémentaires)
Quels que soient 𝑎 et 𝑏 deux réels,
cos 𝑎 = cos 𝑏 ⇔ 𝑏 = 𝑎 mod 2π ou 𝑏 = −𝑎 mod 2π
sin 𝑎 = sin 𝑏 ⇔ 𝑏 = 𝑎 mod 2π ou 𝑏 = π − 𝑎 mod 2π
Théorème 6 : (Cosinus et sinus d’une somme)
Pour tous réels 𝑎 et 𝑏,
1) cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 ;
3) sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎 ;
5) cos(2𝑎) = cos2 𝑎 − sin2 𝑎 = 2 cos2 𝑎 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑎
2) cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 ;
4) sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑏 cos 𝑎.
6) sin(2𝑎) = 2 sin 𝑎 cos 𝑎.
II) Fonctions trigonométriques
Définition 1 :
La fonction cosinus (respectivement sinus est la fonction qui à tout réel associe son cosinus (respectivement son sinus).
A) Parité, périodicité
Définition 2 :
On dit d’une fonction 𝑓 ∶ ℝ → ℝ qu’elle est :
⋄ périodique s’il existe un réel T > 0 tel que pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥 + T) = 𝑓(𝑥) et T est une période
de 𝑓 ;
⋄ paire si pour tout réel 𝑥, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ;
⋄ impaire si pour tout réel 𝑥, 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥).
Remarque : (Fonctions paires, impaires)
Pour tout réel 𝑥, (−𝑥)2 = 𝑥2 donc la fonction carrée est paire. De même, pour tout entier naturel
𝑝, 𝑥 ↦ 𝑥2𝑝 est paire. De manière générale, dans un repère orthonormé, la représentation graphique
d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Pour tout réel 𝑥, (−𝑥)3 = −𝑥3 donc la fonction cube est impaire. De même pour tout entier naturel 𝑝,
𝑥 ↦ 𝑥2𝑝+1 est impaire. De manière générale, dans un repère orthonormé, la représentation graphique
d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Remarque : (Fonctions périodiques)
Étant donné une fonction 𝑓 périodique, s’il existe un plus petit réel T > 0 qui vérifie pour tout réel 𝑥
l’égalité 𝑓(𝑥 + T) = 𝑓(𝑥), on l’appelle la période (parfois la période fondamentale) de la fonction 𝑓.
On dit alors que 𝑓 est T-périodique. Par récurrence on montre que tout multiple entier de la période
fondamentale est encore une période, donc pour tout entier 𝑛 et tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥 + 𝑛T) = 𝑓(𝑥).
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II) Fonctions trigonométriques
Théorème 7 : (Parité et périodicité)
La fonction cosinus est 2π-périodique et paire ; la fonction sinus est 2π-périodique et impaire.
Preuve : La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire d’après le point 1 du théorème 4.
D’autre part, d’après le théorème 2, 2π est une période de cos et de sin.
Le théorème 5 nous apprend que pour tout couple de réels 𝑎 et 𝑏, si cos 𝑎 = cos 𝑏, alors 𝑎 − 𝑏 est
multiple de 2π ou 𝑎 + 𝑏 est multiple de 2π. Dans le premier cas, on obtient que 𝑎 et 𝑏 sont distants
d’un multiple de 2π (donc 2π est candidat pour la période), dans le second, la distance entre 𝑎 et 𝑏
n’est pas un multiple entier d’une période (donc indépendante de 𝑎 et 𝑏). Donc 2π est le plus petit
réel T tel que pour tout réel 𝑥, cos(𝑥 + T) = cos 𝑥 et le cosinus est donc 2π-périodique.
Pour le sinus, on raisonne de la même façon pour obtenir encore une fois que 2π est une période et
que l’égalité 𝑏 = π − 𝑎 mod 2π ne permet pas de dire que la distance entre 𝑎 et 𝑏 est multiple entier
d’une période. Donc le sinus est 2π-périodique.
B) Continuité, dérivabilité
Théorème 8 :
Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur ℝ.
Preuve : Pour tous réels 𝑎 et ℎ, cos(𝑎 + ℎ) = cos 𝑎 cos ℎ − sin 𝑎 sin ℎ.
À l’aide du cercle trigonométrique, on a l’inégalité valable pour ℎ ≥ 0 : sin ℎ ≤ ℎ. En effet, si M est
(
le point du cercle associé à ℎ, son ordonnée est sin ℎ et la longueur de l’arc IM est ℎ. De même par
symétrie, pour ℎ < 0, sin ℎ ≥ ℎ, donc pour tout réel ℎ, 0 ≤ | sin ℎ| ≤ |ℎ| et d’après le théorème des
gendarmes, lorsque ℎ tend vers 0, sin ℎ tend aussi vers 0.
D’après la formule de duplication, cos ( ℎ2 × 2) = 1 − 2 sin2 ( ℎ2 ) et donc | cos ℎ − 1| = 2 sin2 ( ℎ2 ). Mais
d’après le théorème de composition des limites, lorsque ℎ tend vers 0, 2 sin2
en déduit que cos ℎ tend vers 1 lorsque ℎ tend vers 0.
ℎ
2
tend aussi vers 0. On
Par conséquent d’après le théorème de limites et opérations,
lim cos(𝑎 + ℎ) = cos 𝑎 × 1 − sin 𝑎 × 0 = cos 𝑎.
ℎ→0
La fonction cosinus est donc continue sur ℝ. Donc la fonction 𝑥 ↦ cos ( π2 − 𝑥) est aussi continue sur
ℝ en tant que composée de fonctions continues, et on reconnaît là la fonction sinus.
Théorème 9 : (Nombres dérivés en 0)
sin 𝑥
=1
𝑥→0 𝑥
lim
et
cos 𝑥 − 1
=0
𝑥→0
𝑥
lim
Preuve : Puisqu’il s’agit d’un calcul de limite en 0 on peut restreindre l’étude à un voisinage de 0, en
l’occurrence, ]− π2 , π2 [.
# »
#»̂
Considérons le point M du cercle trigonométrique défini par ( 𝑖 , OM) = 𝑥 mod 2π, H le projeté
orthogonal de M sur l’axe des abscisses et T le point de [OM) de projeté orthogonal I sur l’axe des
abscisses.
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Chapitre 7 : Fonctions trigonométriques
M
T
𝑥
H
O
I
Dans le cas où 𝑥 > 0, d’après le théorème de Thalès,
OH
IT
sin 𝑥
sin 𝑥
=
⇔ cos 𝑥 =
⇔ IT =
.
OI
HM
IT
cos 𝑥
Le triangle OHM est contenu dans le secteur IOM qui est lui-même contenu dans le triangle OIT.
Donc,
cos 𝑥 sin 𝑥
≤
2
𝑥
⇔ cos 𝑥 ≤
sin 𝑥
sin 𝑥
⇔ cos 𝑥 ≤
𝑥
𝒜OHM ≤ 𝒜IOM ≤ 𝒜OIT ⇔
1
sin 𝑥
𝑥≤
2
2 cos 𝑥
1
≤
cos 𝑥
1
≤
cos 𝑥
sin 𝑥
Dans le cas où 𝑥 < 0, 𝒜IOM = − 12 𝑥 et HM = − sin 𝑥 et IT = − cos
car sin 𝑥 < 0 n’est pas une
𝑥
longueur. Puis obtient par l’inégalité des aires
cos 𝑥 sin 𝑥
1
sin 𝑥
≤− 𝑥≤−
2
2
2 cos 𝑥
𝑥
1
⇔ cos 𝑥 ≤
≤
sin 𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
1
⇔ cos 𝑥 ≤
≤
𝑥
cos 𝑥
𝒜OHM ≤ 𝒜IOM ≤ 𝒜OIT ⇔ −
où l’on est passé de la première ligne à la deuxième en divisant par − sin 𝑥 qui est positif. On a donc
bien pour tout réel 𝑥 non nul de l’intervalle ]− π2 , π2 [,
cos 𝑥 ≤
sin 𝑥
1
≤
.
𝑥
cos 𝑥
Puisque la fonction cosinus est continue, lim𝑥→0 cos 𝑥 = cos(0) = 1 et lim𝑥→0
théorème des gendarmes, on a bien le résultat souhaité.
1
cos 𝑥
= 1. D’après le
Pour la deuxième limite, pour 𝑥 réel non nul de ]− π2 , π2 [,
2 sin2 ( 𝑥2 )
sin ( 𝑥2 )
cos 𝑥 − 1
𝑥
=−
= − sin ( ) ×
.
𝑥
𝑥
𝑥
2
2
La quantité sin ( 𝑥2 ) est comprise entre −1 et 1 et d’après le théorème de composition des limites,
sin(𝑥/2)
𝑥/2
tend vers 0 avec 𝑥, donc le produit des deux tend bien vers 0.
Théorème 10 :
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ et pour tout réel 𝑥,
cos′ (𝑥) = − sin 𝑥
et
sin′ (𝑥) = cos 𝑥.
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II) Fonctions trigonométriques
Preuve : Soit 𝑥 ∈ ℝ et ℎ ≠ 0,
1
1
(cos(𝑥 + ℎ) − cos 𝑥) = (cos 𝑥 cos ℎ − sin 𝑥 sin ℎ − cos 𝑥)
ℎ
ℎ
cos ℎ − 1
sin ℎ
=
cos 𝑥 −
sin 𝑥
ℎ
ℎ
Puisque d’après le théorème précédent, la première fraction tend vers 0 et la seconde vers 1, d’après
le théorème des opérations sur les limites,
lim
ℎ→0
1
(cos(𝑥 + ℎ) − cos 𝑥) = − sin 𝑥.
ℎ
La fonction cosinus est donc dérivable et de dérivée la fonction − sin.
Puisque pour tout réel 𝑥, sin 𝑥 = cos ( π2 − 𝑥), et puisque la fonction 𝑥 ↦ π2 − 𝑥 est dérivable en tant
que fonction affine, la fonction sinus est elle aussi dérivable et d’après le théorème de dérivation des
fonctions composées, pour tout réel 𝑥,
sin′ (𝑥) = cos′ (
′
π
π
π
− 𝑥) × ( − 𝑥) = sin ( − 𝑥) = cos 𝑥.
2
2
2
Remarque : Il existe un moyen mnémotechnique permettant de retenir les formules de dérivation. On
utilise le schéma suivant, basé sur le cercle trigonométrique.
sin
− cos
On dérive
cos
− sin
C) Variations et représentation graphique
Théorème 11 :
La fonction cosinus est décroissante sur [0, π] et croissante sur [π, 2π[. La fonction sinus est croissante
sur [0, π2 ], décroissante sur [ π2 , 3π
] puis à nouveau croissante sur [ 3π
, 2π[.
2
2
Preuve : Il suffit d’analyser le signe de la dérivée de chacune des fonctions.
⋄ Pour tout réel 𝑥 de [0, π] − sin 𝑥 ≤ 0 donc la fonction cosinus est décroissante sur [0, π] ;
⋄ Pour tout réel 𝑥 de [π, 2π[ − sin 𝑥 ≥ 0 donc la fonction cosinus est croissante sur [π, 2π[.
On obtient les variations de la fonction sinus en analysant de même le signe de la fonction cosinus.
Définition 3 :
Les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sont appelées sinusoïdes.
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Chapitre 7 : Fonctions trigonométriques
𝑦
cos
1
−3π
2
−2π
0
−π
2
−π
sin
π
2
0
3π
2
π
𝑥
−1
Fig. 7.2 : Représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus
D) Bonus : la fonction tangente
Définition 4 :
La fonction tangente est le quotient de la fonction sinus par la fonction cosinus. tan =
sin
.
cos
Proposition 1 :
La fonction tangente est définie sur ℝ privé de l’ensemble D des nombres congrus à
modulo π.
π
2
Preuve : La fonction tangente est définie partout où son dénominateur ne s’annule pas. Mais pour
tout nombre réel 𝑥, cos 𝑥 = 0 est équivalent à cos 𝑥 = cos π2 et donc 𝑥 =
mod 2π. On peut donc bien résumer en cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 =
π
2
π
2
mod 2π ou 𝑥 = − π2
mod π.
Proposition 2 :
La fonction tangente est impaire et 2π-périodique.
Preuve : Soit 𝑥 ∈ ℝ ⧵ D, tan(−𝑥) =
De plus, tan(𝑥 + 2π) =
sin(𝑥+2π)
cos(𝑥+2π)
=
sin(−𝑥)
cos(−𝑥)
sin 𝑥
=
cos 𝑥
=
− sin 𝑥
cos 𝑥
= − tan 𝑥.
tan 𝑥.
Proposition 3 :
La fonction tangente est continue et dérivable sur son ensemble de définition ℝ ⧵ D. De plus, pour
tout 𝑥 ∈ ℝ ⧵ D, tan′ 𝑥 = cos12 𝑥 = 1 + tan2 𝑥.
Preuve : La fonction tan est continue et dérivable sur ℝ⧵D en tant que quotient de fonctions continues
et dérivables sur ℝ ⧵ D. Pour tout 𝑥 ∈ ℝ ⧵ D,
tan′ 𝑥 =
cos 𝑥 × cos 𝑥 − sin 𝑥 × (− sin 𝑥)
cos2 𝑥 + sin2 𝑥
=
.
cos2 𝑥
cos2 𝑥
En séparant en deux la fraction on obtient d’une part tan′ 𝑥 =
cos2 𝑥
cos2 𝑥
′
contraire on remarque que cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1, on simplifie en tan 𝑥 =
+
sin2 𝑥
cos2 𝑥
1
.
cos2 𝑥
Proposition 4 :
lim
𝑥→− π
,𝑥>− π
2
2
tan 𝑥 = −∞
et
lim
𝑥→ π
,𝑥< π
2
2
tan 𝑥 = +∞.
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= 1 + tan2 𝑥. Si au
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II) Fonctions trigonométriques
Preuve : On a sin π2 = 1 et cos π2 = 0. De plus, pour 𝑥 ∈ [0, π/2[, cos 𝑥 > 0 donc d’après le théorème
sur la limite d’un quotient,
lim
tan 𝑥 = +∞.
π
π
𝑥→ 2 ,𝑥< 2
On obtient la seconde limite en utilisant le fait que la fonction tangente est impaire.
Conséquence 1 :
La courbe représentative de la fonction tangente admet des asymptotes verticales aux points d’abscisses dans D.
Preuve : On vient de voir que c’était vrai en ± π2 , et par 2π-périodicité, on obtient encore les mêmes
limites en chaque point de D.
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2
𝑦
5
4
3
2
1
0
−1 0
−2
−3
−4
−5
π
2
π
3π
2
Fig. 7.3 : Représentations graphiques de la fonction tangente
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2π
5π 𝑥
2