Espace projectif complexe Pn(C)

Espace projectif complexe Pn(C)
A. Lesfari
Département de Mathématiques
Faculté des Sciences
Université Chouaïb Doukkali
B.P. 20, El-Jadida, Maroc.
E. mail : [email protected]
L'espace projectif complexe
Pn (C) = {droites dans Cn+1 },
©
ª
= [Z0 : ... : Zn ] : (Z0 , ..., Zn ) ∈ Cn+1 \{0} ,
est l'ensemble des droites vectorielles complexes passant par l'origine de coordonnées dans Cn+1 où [Z0 : ... : Zn ] désigne la droite engendrée par le vecteur.
La topologie sur l'espace Pn (C) est la topologie quotient déterminée par la
surjection
Cn+1 \{0} −→ Pn (C),
(Z0 , ..., Zn ) 7−→ [Z0 : ... : Zn ].
L'espace topologique Pn (C) est séparé et compact. En outre, il est recouvert
par n + 1 ouverts U0 , ..., Un où
Ui = {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi 6= 0},
l'ensemble des droites pour lesquelles Zi 6= 0. Considérons, pour i = 0, ..., n,
l'application (coordonnée locale dans Ui ),
¶
µ
Zi−1 Zi+1
Zn
Z0
n
, ...,
,
, ...,
≡ (z1 , ..., zn ),
ϕi : Ui −→ C , [Z0 : ... : Zn ] 7−→
Zi
Zi
Zi
Zi
avec

Zk−1

si k ≤ j

Z
j
(0.1)
zk =

 Zk si k > j
Zi
où 1 ≤ k ≤ n. Il est évident que ϕi (Ui ) = Cn . L'application ϕi est un homéomorphisme ; l'homéomorphisme inverse étant donné par
(z1 , ..., zn ) 7−→ [z1 , ...zi , 1, zi+1 , ..., zn ].
1
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Donc Pn (C) est une variété topologique de dimension n et le couple (Ui , ϕi ),
0 ≤ i ≤ n, est une carte sur Pn (C). Comme
Ui ∩ Uj = {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi 6= 0 et Zj 6= 0},
i 6= j
alors (pour j > i),
ϕi (Ui ∩ Uj ) = {(z1 , ..., zn ) ∈ Cn : zj 6= 0},
et
ϕj (Ui ∩ Uj ) = {(z1 , ..., zn ) ∈ Cn : zi+1 6= 0}.
Les applications de transitions sont dénies par
ϕji ≡ ϕj ϕ−1
i : ϕi (Ui ∩ Uj ) −→ ϕj (Ui ∩ Uj ),
µ
¶
z1
c
zj
1
zn
(z1 , ..., zn ) 7−→
, ..., , ..., , ...,
, zj 6= 0
zj
zj
zj
zj
où le signe b signie à omettre. Pour ϕij ≡ ϕi ϕ−1
j , il sut de permuter les
indices. On voit bien que les applications ϕji et ϕij sont analytiques.
Les cartes
Sn
(Ui , ϕi ), (Uj , ϕj ) sont donc deux à deux compatibles et comme i=0 Ui = Pn (C),
elles forment un atlas. Par conséquent, Pn (C) est une variété analytique. Par
exemple, pour n = 1, on obtient la droite projective complexe ou sphère de
Riemann P1 (C) = C ∪ {∞}. On a
Ui = P1 (C)\{∞} = C,
Uj = P1 (C)\{0} = C∗ ∪ {∞},
ϕi : Ui −→ C, application identique,
( 1
si z ∈ C∗
ϕi : Uj −→ C, z 7−→ ϕj (z) =
z
0 si z = ∞
Les applications ϕi et ϕj sont des homéomorphismes. Notons que puisque Ui ,
Uj sont connexes et que Ui ∩ Uj 6= ∅, alors P1 (C) est aussi connexe et
ϕi (Ui ∩ Uj ) = ϕj (Ui ∩ Uj ) = C∗ ,
1
z 7−→ ,
z
est une application biholomorphe. En utilisant la projection stréographique

√
 z0 + −1z2
si z 6= 1
S 2 −→ C ∪ {∞}, (z0 , z1 , z3 ) 7−→
1
−
z
3

∞ si z3 = 1
∗
∗
ϕj ϕ−1
i : C −→ C ,
3
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où
S 2 = {(z0 , z1 , z3 ) ∈ C3 : |z0 |2 + |z1 |2 + |z2 |2 },
est la sphère unité de C3 , tout en comparant avec les coordonnées locales
étudiées précédemment, on montre que P1 (C) est diéomorphe à S 2 .
Une autre description de l'espace projectif complexe Pn (C) peut-être faite
en le dénissant comme l'ensemble quotient de Cn+1 \{0} par la relation d'équivalence
[Z0 : ... : Zn ] ∼ [λZ0 : ... : λZn ], λ ∈ C∗ .
On écrit aussi
Pn (C) =
Soit
{[Z] 6= 0 ∈ Cn+1 }
.
[Z] ∼ [λZ]
Hi = {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi = 0},
l'hyperplan de Pn (C) d'équation Zi = 0, 0 ≤ i ≤ n. C'est un sous-espace
projectif de dimension n − 1. L'application
µ
¶
Z0
Zi−1 Zi+1
Zn
n
n
ϕi : P (C)\Hi −→ C , [Z0 : ... : Zn ] 7−→
, ...,
,
, ...,
,
Zi
Zi
Zi
Zi
montre que Pn (C)\Hi est naturellement isomorphe à Cn . Posons
Ui = Pn (C)\Hi = {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi 6= 0}.
Comme Hi est un fermé, alors son complémentaire Ui est un ouvert. On munit Pn (C) de la topologie quotient de celle de Cn+1 \{0}, i.e., qu'un sousensemble de Pn (C) est fermé ou ouvert si et seulement si son image inverse
par la projection Cn+1 \{0} −→ Pn (C) l'est. En outre, l'application ϕi est
un homéomorphisme. Dès lors, un ensemble explicite de cartes sur Pn (C) est
fourni par (Ui , ϕi ). Les coordonnées zk (12.0.1) sont les coordonnées anes sur
Ui = Pn (C)\Hi . Chaque Hi est isomorphe à Pn−1 (C) (il sut d'omettre la
i-ème coordonnée). On a
Pn (C) =
=
=
'
{[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi 6= 0} ∪ {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi = 0},
Ui ∪ Hi ,
(Pn (C)\Hi ) ∪ Hi ,
Cn ∪ Hi .
Tn
Notons que i=0 Hi = ∅ car aucun point [Z0 : ... : Zn ] n'a toute ses coordonnées
homogènes Zi égales à zéro. Dès lors,
n
n
[
[
Ui =
(Pn (C)\Hi ) = Pn (C).
i=0
i=0
(en eet, soit ξ ∈ P (C), si Z0 , ..., Zn est un système de coordonnées homogènes
de ξ , alors il existe i tel que : Zi 6= 0 et ξ ∈ Ui ). On a un ensemble explicite de
cartes dénissant Pn (C) comme étant l'union de (n + 1) copies de Cn .
n