ModuleŊ projectifŊ

Université de Pau et des pays de l’Adour
M mms, tmuzu
Année 2008-2009
Partiel du 17 novembre
M
oduleŊ projectifŊ
D
ans tout ce qui suit, A désigne un anneau commutatif. Les termes
« module » et « linéaire » seront employés au sens de « A-module »
et « A-linéaire ».
1 Préliminaires
a) Soient E et F des modules et f : E → F une application linéaire. On
dit que f est scindée, ou admet une section s’il existe un morphisme
s : F → E tel que f ◦ s = 1F . On dit alors que s est une section de f
et que f est une projection de E sur F . Montrer que
(i) si f est scindée, elle est surjective et ses sections sont injectives ;
(ii) si F est libre et f surjective, alors f est scindée ;
(iii) pour tous modules P et Q, la surjection canonique πP : P ×Q → P
est scindée par l’injection canonque iP : P → P ⊕ Q = P × Q.
b) Montrer que tout module isomorphe à un module libre est libre.
c) Soient P et E des modules. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) P est isomorphe à un facteur direct de E ;
∼
(ii) il existe un module Q et un isomorphisme ϕ : E −→ P ⊕ Q ;
f
/
(iii) il existe des applications linéaires E o
P telles que f ◦ g = 1P .
g
2 Modules
projectifs. Soit P un A-module. On considère les asser-
tions
(i)
(ii)
(iii)
suivantes :
toute surjection linéaire f : E → P est scindée ;
il existe un module Q et un module libre L tels que P ⊕ Q ' L ;
P est facteur direct d’un module libre, i.e., il existe un module Q et un
module libre L tels que P ⊕ Q = L ;
(iv) pour tous modules E et F et toute surjection linéaire f : E → F ,
l’application
f∗ : HomA (P, E) −→ HomA (P, F )
u
7−→
f ◦u
est surjective ;
(v) si f : E → F est une surjection linéaire, tout morphisme
de P dans F se factorise par f (il n’est pas demandé
qu’une telle factorisation soit unique ; par contre, il est entendu qu’elle se doit d’être composée d’applications linéaires).
P@
@
E
@@
@@
@
/F
f
a) Montrer que tout module libre satisfait (v).
b) En déduire que tout facteur direct d’un module libre satisfait (v).
c) Montrer que ces cinq assertions sont équivalentes.
Le module P est dit projectif si ces conditions sont satisfaites.
3 Modules
projectifs de type fini. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) P est projectif de type fini ;
(ii) il existe un module Q et un entier n tels que P ⊕ Q ' An .
4 Exemples
et contre-exemples.
a) Montrer que
(i) Z/3Z est un Z/6Z-module projectif ;
(ii) pour n 6= 0, Z/nZ n’est pas un Z-module projectif ;
(iii) tout A-module libre est projectif.
b) Donner un exemple d’anneau A et de A-module projectif qui n’est pas
libre.
5 Changement
d’anneau. Soit ϕ : A → B un morphisme d’anneaux.
Montrer que pour tout A-module projectif P , le B-module ϕ∗ (P ) obtenu par
extension des scalaires est projectif. Cela reste-t-il valable pour les modules
projectifs de type fini ?
2
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Année 2008-2009
Exercices
C
orrection du partiel du 17 novembre
1 a)
(i) Supposons f scindée ; soient s une section de f et x un élément
de F . Alors x = f s(x) ∈ im f et s(x) = 0 =⇒ x = f (0) = 0. Par suite,
im f = F et ker s = {0} : f est surjective et s injective.
(ii) Supposons F libre et f surjective. Choisissons une base (ei )i∈I de F
et, pour tout i ∈ I, choisissons un élément ui de E tel que f (ui ) = ei . Soit
s : F → E l’unique application linéaire telle que pour tout i ∈ I, s(ei ) = ui .
Alors f ◦ s est l’unique application linéaire de F vers F telle que
∀i ∈ I
(f ◦ s)(ei ) = f (ui ) = ei .
Donc f ◦ s = 1F et f est scindée.
(iii) L’injection canonique iP : P → P ×P est définie par iP (x) = (x, 0) et πP
est la première projection. Donc pour tout x ∈ P, πP i(x) = πP (x, 0) = x.
b) Si f : E → F est un isomorphisme, alors l’image de toute base de E est
une base de F . Si E est libre, il possède une base et par conséquent F aussi.
c) Supposons (i). Existent alors des sous-modules P 0 et Q de E et un
∼
isomorphisme f : P 0 → P tels que P 0 ⊕ Q = E. Étant donné x ∈ E, il existe
un unique couple (y, z) ∈ P 0 × Q tel que x = y + z. Poser
ϕ(x) = f (y), z) ∈ P × Q = P ⊕ Q
définit une application ϕ : E → P ⊕ Q qui est clairement un isomorphisme.
Supposons (ii). Notons iP : P → P ⊕ Q = P × Q et πP : P × Q → P
l’injection et la projection canoniques ; les morphismes
f = πP ◦ ϕ : E → P
et
g = ϕ−1 ◦ iP : P → E
sont tels que f ◦ g = πP ϕ ϕ−1 iP = πP iP = 1P .
Supposons (iii). Alors g est injective, donc réalise un isomorphisme de P
sur son image. Remarquons que tout élément x de E se décompose en
x = (g ◦ f )(x) + x − (g ◦ f )(x) .
Posons P 0 = im g, q = g ◦ f et Q = im(1E − q) ; de la décomposition ci-dessus
résulte (puisque im q ⊂ im g = P 0 ) que E = P 0 + Q et il reste à montrer que
cette somme est directe.
Soit x ∈ P 0 ∩ Q ; alors
– x ∈ P 0 = im g, donc il existe y ∈ P tel que x = g(y) ;
– x ∈ Q = im(1E − q), donc il existe z ∈ E tel que x = z − q(z) ;
– f ◦ g = 1P , donc
y = f (x) = f (z) − f gf (z) = f (z) − (f g) f (z) = f (z) − f (z) = 0
et par suite x = g(y) = 0.
2 a)
Soient f : E → F une surjection linéaire, L un module libre et
v : L → F une application linéaire. Fixons une base (ei )i∈I de L ; pour chaque
i ∈ I, choisissons xi ∈ E tel que f (xi ) = v(ei ) et notons u l’application
linéaire de L vers
E telle que pour tout i, u(ei ) = xi . Alors pour tout i,
v(ei ) = f u(ei ) , de sorte que v = f ◦ u : L satisfait la condition (v).
b) Soient f : E → F une surjection linéaire, L un module libre, P un facteur directde
L et v : L → F une
1
c), existent des appliapplication linéaire. D’après
π /
cations linéaires L o
P telles que π ◦ i = 1P .
Li
u1
π
/
P@
@
i
@@v
@@
@
/F
f
E
i
D’après la question précédente, le morphisme v1 := v ◦ π se factorise par f :
il existe u1 : L → E linéaire tel que f u1 = v1 .
Posant u = u1 i, il vient f u = f u1 i = v1 i = v π i = v.
(P )
c) (i) ⇒
→ P est alors scindée, donc
Supposons (i) ; la surjection A
(ii)
1
c), il existe un module Q et un isomorphisme entre P ⊕ Q et le
d’après module libre A(P ) .
1
b), si P ⊕ Q est isomorphe à un module libre, alors
(ii) ⇒ (iii) D’après il est libre.
(iii) ⇒ (iv) est l’objet de la question b) ci-dessus.
(iv) ⇔ (v) Si f ∈ HomA (E, F ), la surjectivité de f∗ signifie que
∀v ∈ HomA (P, F ), ∃u ∈ HomA (P, E) : v = f∗ (u) = f ◦ u
i.e., que toute application linéaire P → F se factorise par f .
(v) ⇒ (i) Supposons (v). Soit f : E → P une surjection linéaire. Appliquant (v) à F = P et v = 1P , on
s
en déduit que cette application se factorise par f , i.e.,

qu’il existe s : P → E tel que f ◦ s = 1P .
E
3 Si (ii) est satisfaite, alors P
P @@@
@
f
@@@@
@@@@
@@
/P
est projectif (2e condition de la définition) et
de type fini car, choisissant une projection f de An sur P (qui existe d’après
2
les préliminaires) et notant (e1 , . . . , en ) la base caononique de An , on a que
f (e1 ), . . . , f (en ) est génératrice de P .
Supposons (i). P étant de type fini, il existe un entier n et une famille
génératrice à n éléments de P . Si (u1 , . . . , un ) est une telle famille, poser
f (e1 ) = u1 , . . . , f (en ) = un définit une surjection linéaire An → P , qui
est scindée puisque P est projectif. Par suite, il existe un module Q et un
isomorphisme P ⊕ Q ' An .
4 a)
(i) On a (grâce au théorème chinois, par exemple)
Z/6Z ' Z/2Z × Z/3Z = Z/2Z ⊕ Z/3Z
et il est aisé de voir que cet isomorphisme de groupes abéliens est Z/6Zlinéaire. Donc Z/3Z, Z/6Z-module facteur direct du Z/6Z-module libre
Z/6Z, est projectif en tant que Z/6Z-module.
(ii) Quand n est non nul, il n’existe aucun morphisme de Z-modules (de
groupes abéliens) de Z/nZ vers Z, a fortiori aucune section de la surjection
canonique Z → Z/nZ. Ce dernier n’est donc pas projectif en tant que Zmodule.
1
a)(ii).
(iii) est conséquence immédiate (et triviale) de b) Z/3Z est un Z/6Z-module projectif mais n’est pas libre, car sinon il existerait un isomorphisme Z/3Z ' (Z/6Z)n . Or (Z/6Z)n possède 6n éléments
et Z/3Z en possède 3, qui n’est pas une puissance de 6.
3