1 Espaces projectifs réels 2 Recollement de deux - IMJ-PRG

Université Denis Diderot (Paris 7) M2 de Mathématiques fondamentales
2012-2013
Topologie algébrique I
Séance de TD n◦ 1
12 septembre 2012
Exemples d'espaces topologiques.
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Espaces pro jectifs réels
n,
Pour tout entier naturel
on dénit l'espace quotient
RP n =
Rn+1 \ {0}
∼
∼ est dénie sur Rn+1 \ {0} par : x ∼ y ⇔ ∃t ∈ R∗ , y = tx.
\ {0} −→ RP n la projection canonique et on utilisera aussi la notation
où la relation d'équivalence
On note
π:R
n+1
:
π(x1 , . . . , xn+1 ) = [x1 , . . . , xn+1 ].
1. Montrer que
RP n
est connexe et que l'application
2. Montrer que
RP n
est séparé.
Indication :
considérer d'abord deux points
restriction de
π
à l'hyperplan
3. Montrer que la restriction de
En déduire que
n
4. On note S+
RP
n
H = {xn+1 = 1}
π
à
Sn
π
est ouverte.
[x1 , . . . , xn+1 ]
de
RP n
tels que
induit un homéomorphisme entre
est compact.
= {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ S n , xn+1 > 0}
Montrer que la restriction de
π
à
n
S+
xn+1 6= 0.
Montrer que la
est un plongement. Conclure puis passer au cas général.
Sn
∼
Sn.
n
S+
entre
∼
et
RP n .
et
RP n .
l'hémisphère nord de
induit un homéomorphisme
5. On dénit l'application
f : Dn
x
2
Soit
7−→
Sn
p +
x, 1 − kx|2
Dn
.
x ∼ −x pour x ∈ ∂Dn
n
n−1
Montrer que RP
s'obtient à partir de RP
par attachement d'une cellule de dimension n.
n−1
Indication : considérer le quotient injectif de l'application g : RP
q Dn −→ RP n dénie par g([x]) = [x, 0]
n−1
n
pour [x] ∈ RP
et g(x) = [f (x)] pour x ∈ D .
Montrer que
6.
−→
n
π|S+
◦f
est une application quotient et en déduire que
RP n '
Recollement de deux variétés suivant leurs bords
M
et
N deux variétés compactes à bord de même dimension
g : N −→ N un homéomorphisme. Montrer que :
et
f : ∂N −→ ∂M
un homéomorphisme de leurs
bords. Soit
M ∪f ◦g|∂N ' M ∪f N
En d'autres termes, la variété recollée
se prolonge à
N.
M ∪f N
ne change pas si on compose
f
par un homéomorphisme de
∂N
qui
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Séance de TD n◦ 1
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Exemples de recollements en dimension 3 : les espaces lenticulaires.
Pour toute matrice
q
p
M=
s
r
∈ GL2 (Z)
l'application
hM : S 1 × S 1
(u, v)
est un homéomorphisme du tore
S 1 × S 1 ⊂ C × C.
LM = D2 × S 1 ∪hM D2 × S 1 =
−→
7−→
S1 × S1
(uq v s , up v r )
On dénit l'espace
D2 × S 1 q D2 × S 1
(x, y) ∈ ∂(D2 × S 1 ) ∼ hM (x, y) ∈ ∂(D2 × S 1 )
C'est une variété topologique de dimension 3, sans bord, compacte et connexe.
1. Montrer que pour
M=
2. Montrer que pour
M=
0
1
1
0
1
0
0
1
, on a
LM ' S 3 .
, on a
LM ' S 1 × S 2 .
D2 × S 1 ⊂ C × C
3. On appelle twist méridien du tore solide
t : D2 × S 1
(u, v)
Soit
q
p
M=
s
r
−→
7−→
l'application
D2 × S 1
(uv, v)
∈ GL2 (Z).
q s + nq
n ∈ Z, LM ' LAn où An =
.
p r + np
q −s
0
0
' LM où M =
∈ GL2 (Z).
p −r
a. Montrer que pour tout
b. Montrer que
LM
c. En déduire que
LM
ne dépend (à homéomorphisme près) que du couple d'entiers premiers entre eux
Cette variété est appelée espace lenticulaire de paramètres
p
et
q
et est notée
4. Avec les mêmes notations qu'à la question précédente, montrer que pour tout
LM ' LBn ,
où
En déduire que
5. Montrer que
Bn =
L(p, q)
q + np
p
s + nr
r
ne dépend que de
.
q
modulo
L(−p, −q) ' L(−p, q) ' L(p, q).
6. Montrer que si
qq 0 ≡ ±1[p]
7. Montrer que le
π1 (L(p, q)) ' Z/pZ.
alors
L(p, q) ' L(p, q 0 ).
p.
L(p, q).
n∈Z
:
(p, q).