Mathématiques en lycée

Modélisation du signal
I- Parité et Périodicité
1) Définitions
Définition
Fonction paire
f est une fonction paire si pour tout x ∈ Df , on a −x ∈ Df et f (−x) = f (x).
Conséquence : La courbe représentative de la fonction f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
Définition
Fonction impaire
f est une fonction impaire si pour tout x ∈ Df , on a −x ∈ Df et f (−x) = −f (x).
Conséquence : La courbe représentative de la fonction f est symétrique par rapport au point O(0; 0)
Exemple
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =
x3
.
x2 + 1
Etudier la parité de f .
Le domaine de définition est R qui est symétrique par rapport à 0.
(−x)3
− x3
f (−x) =
=
= −f (x).
(−x)2 + 1 x2 + 1
Comme pour tout x ∈ Df , on a −x ∈ Df et f (−x) = −f (x) alors la fonction est impaire.
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Définition
Fonctions périodiques
On dit qu’une fonction f définie sur D est périodique de période T si
∀x ∈ D, x + T ∈ D et f (x + T) = f (x)
Toutes les périodes sont des multiples de la plus petite période qui est appelée la période.
Théorème
Périodes des fonctions périodiques les plus usuelles
Fonction
Période
sin ωx
2π
ω
2π
ω
π
ω
cos ωx
tan ωx
2) Exercices
Exercice 1
On donne ci-dessous les graphiques de six fonctions. Par simple lecture graphique :
1) indiquez les fonctions paires,
2) indiquez les fonctions impaires.
Graphique de f 1
Graphique de f 2
Graphique de f 4
Graphique de f 5
Graphique de f 3
Graphique de f 6
Exercice 2
Compléter en bleu les représentations graphiques suivantes sachant qu’il s’agit de fonctions paires.
C1
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C2
C3
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C4
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Reprendre l’exercice dans le cas où les fonctions sont impaires (compléter en rouge).
Exercice 3
Soient f et g deux fonctions paires. Compléter les tableaux suivants :
x
-5
f (x)
-10
x
−5
-3
-1
1
-2
−3
3
5
15
0
3
5
13
g(x)
9
0
Reprendre l’exercice dans le cas où les fonctions f et g sont impaires.
Exercice 4
Déterminer par le calcul si les fonctions suivantes sont paires, impaires, ou rien du tout.
√
4) d(x) = −5
8) h(x) = x3 + x
6) f (x) = x2 + x
1) a(x) = 4x
2) b(x) = x2 − 7
1
x+2
x
x3
9) i(x) =
5) e(x) = x4 + 2
7) g(x) =
3) c(x) =
x + 100
x+1
1 − x2
x
Exercice 5
Dans cet exercice, on se propose de mettre en évidence une cohérence linguistique :
1) Déterminer la parité de chacune des fonctions suivantes :
f 0 : x 7→ x 0 = 1 ; f 1 : x 7→ x 1 ; f 2 : x 7→ x 2 ; f 3 : x 7→ x 3 ; f 4 : x 7→ x 4 ; f 5 : x 7→ x 5 .
2) Proposer une règle donnant la parité de x 7→ xn suivant la valeur de n.
3) Quelle cohérence remarque-t-on ?
II- Fonctions trigonométriques
1) Rappels
a) Mesure principale
Définition
On appelle mesure principale d’un angle α, la mesure x qui se trouve dans l’intervalle ] − π; π]
Exemple
Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :
17π
31π
et −
4
6
•
17π
4
est un mesure trop grande (> π), il faut donc lui enlever un certain nombre k de tours (2π) pour obtenir
la mesure principale :
π(17 − 8k) π
17π
− k 2π =
=
avec k = 2
4
4
4
• − 31π
6 est une mesure trop petite(6 −π), il faut donc lui rajouter un certain nombre k de tours (2π) pour
obtenir la mesure princimale :
−
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π(−31 + 12k) 5π
31π
+ k 2π =
=
6
6
6
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avec k = 3
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b) Résolution d’équations
Propriété
Équations trigonométriques
• L’équation cos x = cos a admet les solutions suivantes sur R :
x = a + k 2π ou x = −a + k 2π avec k ∈ Z
• L’équation sinx = sina admet les solutions suivantes sur R :
x = a + k 2π ou x = π − a + k 2π
avec k ∈ Z
Exemple
Résoudre dans R les équations suivantes
:
√
a) 2 cos x − 1 = 0
√
π
1
⇔ cos x = cos
1) 2 cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = √
4
2
π
π
On obtient les solutions : x = + k 2π ou x = − + k 2π
4
√4
√
π
3
⇔ sin x = sin
2) 2 sin x − 3 = 0 ⇔ sin x =
2
3
On obtient les solutions :
π
π
2π
x = + k 2π ou x = π − + k 2π =
+ k 2π avec k ∈ Z
3
3
3
√
b) 2 sin x − 3 = 0
avec k ∈ Z
c) Signe des lignes trigonométriques
Propriété
π
2
On a sur ] − π ; π],
sin x > 0
sin x > 0
cos x > 0
⇔
⇔
x ∈]0 ; π[
x∈ −
π π
;
2 2
0
π
O
cos x > 0
− π2
2) Fonctions sinus et cosinus
a) Définition
Définition
À tout réel x, on associe un point unique M du cercle
unité ou cercle trigonométrique de centre O, dont les
coordonnées sont :
M
sin x
x
O
cos x
M(cos x ; sin x)
On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives :
x 7→ sin x
et
x 7→ cos x
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Remarque
∀x ∈ R − 1 6 sin x 6 1
et
− 1 6 cos x 6 1
b) Parité
Propriété
D’après les formules de trigonométrie,
• La fonction sinus est impaire : ∀x ∈ R
• La fonction cosinus est paire : ∀x ∈ R
sin(−x) = − sinx
cos(−x) = cos x
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine, et la courbe représentative
de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
c) Périodicité
Propriété
D’après la définition des lignes trigonométriques dans le cercle, les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques.
∀x ∈ R sin(x + 2π) = sinx et cos(x + 2π) = cos x
On étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple ] − π; π].
d) De sinus à cosinus
Propriété
D’après les formules de trigonométrie,
on a :
π
− x = cos x
sin
2
et
cos
π
− x = sin x
2
Exemple
Résoudre dans l’intervalle ] − π; π], l’équation suivante :
π
= cos x
sin x +
4
On transforme par exemple le cosinus en sinus, l’équation devient alors :
π
π
sin x +
= sin
−x
4
2
Dans R, on trouve les solutions suivantes
:


π π
π



=
− x + k 2π
x
+
 2x = + k 2π





4
2
4


⇔ 





π π
π
π


 0x = π − − + k 2π

− x + k 2π
x + = π −
2 4
4
2
La deuxième série de solutions étant impossible, on trouve alors dans R
π
x = +kπ
8
Dans l’intervalle ] − π; π], on prend k = −1 et k = 0 , soit les solutions
x=−
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7π
π
ou x =
8
8
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3) Étude des fonctions sinus et cosinus
a) Dérivées
Propriété
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R :
sin′ x = cos x et
cos′ x = − sinx
Exemple
Déterminer la dérivée de la fonction suivante :
f (x) = cos 2x + cos2 x
La fonction f est dérivable sur R car composée et produit de fonctions dérivables sur R
f ′ (x) = −2 sin 2x − 2 sin x cos x
= −2 sin 2x − sin 2x
= −3 sin 2x
b) Variations
Comme les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques, on étudie les variations sur l’intervalle ]−π; π]. D’après
le signe des fonctions sinus et cosinus, on obtient les tabeaux de variation suivants :
x
−π
sin′ x =
cos x
−
−
π
2
π
2
+
0
0
0
x
π
0
−π
cos′ x =
− sinx
−
1
+
0
π
−
1
cos x
sin x
0
−1
−1
−1
c) Courbes représentatives
• Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes.
π
π
• De la relation cos x = sin x + , on déduit la sinusoïde de cosinus par une translation de vecteur u~ = − ~ı
2
2
de la sinusoïde de sinus.
Période 2π
1
u
~
−2π
−3π
2
−π
O
−π
2
π
2
π
cos x
sinx
3π
2
2π
5π
2
−1
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d) Compléments
a et b sont deux réels.
Les fonctions f et g définies sur R par f (x) = sin(ax + b) et g(x) = cos(ax + b) sont dérivables sur R et
f ′ (x) = a cos(ax + b) et
Remarque
Les fonctions f est g sont
g ′ (x) = −a sin(ax + b)
2π
périodiques : en effet
a
2π
+ b = sin(ax + b + 2π) = sin(ax + b)
sin a x +
a
e) Exercices
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur [0; 2π] par f : x 7→ 2 cos2 x − 2 cos x − 1.
Partie A – Étude de la fonction f
1)
a. Montrer que la dérivée de cos2 x est −2 sinx cos x.
b. Déterminer la dérivée f ′ de la fonction f .
2)
a. Vérifier que f ′ (x) = 2 sin x(1 − 2 cos x).
b. Etudier le signe de f ′ et en déduire le tableau de variation de la fonction f .
Partie B – Représentation graphique
1) Montrer que f est 2π périodique. Qu’en déduit-on pour la courbe de f ?
2) Montrer que f est paire. Qu’en déduit-on pour la courbe de f ?
3)
a. Déterminer les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe (Ox) sur [−π; +π].
b. En déduire toutes les abscisses des points où Cf recoupe (Ox).
4) Tracer Cf dans un repère orthonormal (O ; #»
ı , #»
 ) d’unité 1cm.
Exercice 2
On considère la fonction f définie sur [0; 2π] par f (x) = 3 sin2 x + 4 cos3 x.
1)
a. Déterminer la dérivée de sin2 x.
b. Déterminer la dérivée de cos3 x.
c. En déduire la dérivée de f .
d. Vérifier que f ′ (x) = 6 sin x cos x(1 − 2 cos x).
2) Étudier le signe de f ′ sur l’intervalle [0; 2π].
3) Tracer le tableau de variation de f sur [0; 2π].
4) Préciser et justifier les extremums que f admet.
5) Tracer la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [0; 2π]. (Unités graphiques : 2 cm pour
une unité sur chaque axe).
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III- Fonctions réciproques
1) Généralités
Définition
Bijection
soit I et J deux intervalles.
on dit qu’une application f définit une bijection de I sur J lorsque f vérifie les deux conditions suivantes :
• pour tout réel x de I, le réel f (x) ∈ J.
• pour tout réel y ∈ J, l’équation f (x) = y admet une et une seule solution.
Définition
fonction réciproque
soit f une bijection de I sur J.
A tout y de J, on peut associer le x de J tel que f (x) = y. on définit ainsi une nouvelle fonction de J sur I
appellée fonction réciproque de f et notée f −1
Exemple
• f : x 7→ x2 réalise une bijection de I = [0; +∞[ sur √
J = [0; +∞[ donc f admet une fonction réciproque définie de
J = [0; +∞[ sur I = [0; +∞[. C’est la fonction f −1 : x 7→ x.
• f : x 7→ ln x réalise une bijection de I =]0; +∞[ sur J =] − ∞; +∞[ donc f admet une fonction réciproque définie de
J =] − ∞; +∞[ sur I = [0; +∞[. C’est la fonction f −1 : x 7→ exp x.
Remarque
Graphiquement, la courbe de la fonction réciproque f −1 d’une fonction f s’obtient en appliquant une symétrie
d’axe la droite d’équation y = x. C’est le cas, par exemple, pour les fonctions logarithme et exponentielle sur R,
où encore pour les fonctions carré et racine carrée sur [0; +∞[.
y
=
x
=
x
3
y
2
1
√x
=
y
1
x
−2
−1
−1
1
2
3
y=l
−3
nx
y=e
−2
2
y=
0
0
−3
1
√
fonction x2 et x
fonction exp et ln
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x
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2) Fonction circulaire réciproque
Définition
Arccos
La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0; π]. Elle admet donc sur cet
intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1]. Cette fonction est appelée arc cosinus et notée arccos
ou parfois cos−1 .
sx
cco
y = ar
y
3
=
x
2
1
1
−1
−1
2y
3
=c
os x
Définition
Arcsin
y=
1
arc
sin x
y
=
x
La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle [− π2 ; π2 ]. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1]. Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois
sin−1 .
x
sin
=
y
1
−1
−1
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Définition
Arctan
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle ] − π2 ; π2 [. Elle admet donc sur cet
intervalle une fonction réciproque définie sur R. Cette fonction est appelée arc tangente et notée arctan ou
parfois tan−1 .
3
2
y = tan x
4
y
=
x
y = arctan
1
x
−4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
−2
−3
−4
Ces trois fonctions sont souvent utiles lors des recherches de primitives. Il est donc important de connaitre leurs
dérivées.
Théorème
Dérivées des fonctions trigonométriques circulaires
Les dérivées des fonctions circulaires réciproques sont
1
pour tout x ∈] − 1; 1[, (arccosx)′ = − √
1 − x2
1
pour tout x ∈] − 1; 1[, (arcsinx)′ = √
1 − x2
1
pour tout x ∈ R, (arctan x)′ =
1 + x2
Démonstration
Pour tout x de [−1; 1], on a sin(arcsin(x)) = x.
En dérivant les deux membres, on obtient :
1
arcsin(x)′ × cos(arcsin(x)) = 1 d’où arcsin(x)′ =
.
cos(arcsin(x))
q
√
Comme cos(arcsin(x)) = 1 − sin2 (arcsin(x)) = 1 − x2 , on obtient le résultat cherché.
Les démonstrations sont similaires pour arccos(x)′ et arctan(x)′
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Théorème
Dérivées composées des fonctions trigonométriques circulaires
La formule générale sur les dérivées de fonctions composées implique que :
[arccos(u(x))]′ =
[arcsin(u(x))]′ =
[arctan(u(x))]′ =
−u ′ (x)
p
1 − u 2(x)
u ′ (x)
p
1 − u 2(x)
u ′ (x)
1 + u 2 (x)
Exemple
Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
1) f (x) = arccos(5x + 2)
2) g(x) = arctan(x3 )
1) f est de la forme arccos(u) avec u(x) = 5x + 2
u ′ (x) = 5
u ′ (x)
Comme [arccos(u(x))]′ = − p
, on obtient :
1 − u 2 (x)
−5
f ′ (x) = p
1 − (5x + 2)2
2) g est de la forme arctan(u) avec u(x) = x3
u ′ (x) = 3x2
Comme [arctan(u(x))]′ =
u ′ (x)
, on obtient :
1 + u 2 (x)
g ′ (x) =
3x2
1 + x6
3) Exercices
Exercice 1
Attention à ne pas aller trop vite dans les réponses !
√
3
1
1) Calculer sin(arcsin x) pour x = , pour x = − , pour x = 2.
2
2
π
3π
7π
2) Calculer arcsin(sin x) pour x = − , pour x =
, pour x =
.
3
4
4
3) a. A-t’on sin(arcsin x) = x pour tout réel x ?
b. A-t’on arcsin(sin x) = x pour tout réel x ?
Exercice 2
√
On veut montrer que pour tout x de [−1; 1], on a cos(arcsin x) = 1 − x2 .
1) Exprimer cos y en fonction de sin2 y.
2) En déduire l’expression de cos(arcsin x).
3) En déduire que pour tout x de [−1; 1], on a tan(arcsin x) = √
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x
1 − x2
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.
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Exercice 3
√
En s’inspirant de ce qui a été fait
précédemment,
montrer
que
sin(arccos
x)
=
1 − x2 .
√
1 − x2
.
En déduire que tan(arccos x) =
x
Exercice 4
Soit f la fonction définie par f (x) = arcsin(sin x).
1) Donner le domaine de définition de f .
2) Montrer que f est périodique de période 2π.
3) Etude de f sur l’intervalle [−π; +π].
a. Pour chacune des figures suivantes, placer un angle x appartenant l’intervalle donné puis la valeur de
sin x correspondante et enfin celle de arcsin(sin x).
π π
π
π
x ∈ [− ; ]
x ∈ [ ; π]
x ∈ [−π; − ]
2 2
2
2
b. En déduire l’expression de arcsin(sin x) en fonction de x sur chacun des intervalles donnés.
4) Déduire de la question précédente le tracé de f sur [−π; +π]
5) En déduire le tracé de la courbe de f sur R.
6) f est-elle continue sur [−π; +π] ? sur R ?
Exercice 5
√
On considère la fonction f définie sur [−1; 1] par f (x) = arcsin(2x 1 − x2 ).
1) On pose x = cos a avec a ∈ [0; π]. Montrer que f (x) = arcsin(sin 2a).
2) Donner suivant les valeurs de a, l’expression de f .
3) En déduire l’expression de f suivant les valeurs de x dans [−1, 1].
4) Construire la courbe représentative de f dans un repère (O ; #»
ı , #»
 ) orthogonal d’unité 4 cm en abscisse et 1
cm en ordonnée.
Exercice 6
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
√
1) x arccos x
4) x arcsin(x) + 1 − x2
1 − x2 2) arctan(2x)
2
5)
arccos
3) arctan(x )
1 + x2
Exercice 7
Soit f la fonction définie sur [−1; 1] par f (x) = arcsin x + arccos x.
1) Calculer la dérivée de f sur ] − 1; 1[.
2) Calculer f (0).
3)
a. Montrer que pour tout x de ] − 1; 1[, on a arcsin x + arccos x =
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π
.
2
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b. Montrer que pour tout x de [−1; 1], on a arcsin x + arccos x =
π
.
2
Exercice 8
Soit f la fonction définie sur [−1; 1] par f (x) = arcsin(x2 ).
1) Calculer f ′ (x).
2) Étudier les variations de f .
3) Tracer la représentation graphique de f .
Exercice 9
2x
Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur R par f (x) =
− arctan x.
x2 + 1
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 1,5 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée).
1) Déterminer la limite de f lorsque x tend vers +∞.
2) Montrer que la dérivée de f est définie par f ′ (x) =
1 − 3x2
(x2 + 1)2
.
3) Dresser le tableau de variation de f .
4) Donner une équation de la tangente au point d’abscisse 0.
5) Soit φ la fonction numérique défine sur R par φ(x) = x − f (x).
Étudier les variations de la fonction φ (les limites ne sont pas demandées).
Calculer φ(0). Donner le signe de φ(x).
En déduire la position de la courbe C par rapport à sa tangente (T).
Exercice 10
Soit f la fonction numérique de la variable x définie par f (x) = arctan
1) Donner le domaine de définition de f .
x
1−x
.
2
2) Montrer que f est une fonction impaire. En déduire le domaine d’étude de la fonction f .
3)
a. Étudier les limites de f lorsque x tend vers 1. Donner les coordonnées des points d’arrêt de la courbe
C représentative de f .
b. Étudier la limite de f quand x tend vers +∞. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
4) Calculer f ′ (x) et dresser le tableau de variation de f .
5) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d’abscisse 0.
6) Dans un repère orthonormal,(unité graphique 2 cm), construire (T) et C . On placera les demi-tangentes
aux points d’arrêt.
Exercice 11
Soit f la fonction définie par f (x) = arcsin
1)
1 .
1 + x2
a. Justifier que pour tout réel x, on a 0 ≤
b. Sur quel ensemble f est-elle définie ?
2)
1
1 + x2
≤ 1.
a. Étudier les variations de f et tracer la courbe Cf . On donnera les limites aux bornes.
1 = 1 admet une seule solution positive. En donner une valeur
b. Montrer que l’équation arcsin
1 + x2
approchée à 10−2 près.
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Exercice 12
On considère l’équation arcsin x =
x+1
.
2
On note f la fonction définie sur [−1; 1] par f (x) = arcsin x −
x+1
.
2
1) Étudier les variations de la fonction f .
2) Démontrer que l’équation admet une unique solution puis donner un encadrement de cette solution d’amplitude 0, 01.
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