Mme Frikha 3ème math Arithmétique Exercice 1 : 1) Démontrez que, pour tout entier naturel n: 23n-1 est un multiple de 7. Déduisez-en que 23n+1-2 est un multiple de 7 et que 23n+2-4 est un multiple de 7. 2) Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2. 3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier: Ap = 2p + 22p + 23p. a) Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7? b) Démontrez que si p = 3n + 1 , alors Ap est divisible par 7. c) Etudiez le cas où p = 3n + 2. Exercice 2 : 1) Montrez que pour tout entier n > 1 , 3.52n-1 + 23n-2 est divisible par 17 en effectuant un raisonnement par récurrence 2) Montrez que pour tout entier n, 3n+3 - 44n+2 est divisible par 11. Exercice 3 : Soit E l’ensemble des couples (n, m) tels que n et m sont entiers naturels vérifiant : 11(n 11) = 24( m 5 ) 1. a) Déterminer l’ensemble E b) Montrer que (m,n) E ⇔ 11n 24 m = 1 2. Montrer par récurrence sur k que pour tous entiers naturels non nuls a et k on a : ak 1 (a 1)(1 a a 2 ......... a k 1 ) 3. Déduire que : a) 9 divise 1011 1 et 10 24 1 b) 1011 1 divise 1011n 1 où n IN * 4. a) Montrer que si (n, m) est un élément de ( E ) alors (1011n 1) 10(1024 m 1) 9 b) Déduire qu’ils existent deux entiers naturels N et M tels que (1011 1) N (1024 1)M 9 c) Déterminer alors en justifiant le PGCD de 1011 1 et 1024 -1 . Exercice 4 : Trouver les couples (a , b) d'entiers naturels tels que 0 < a < b dont le PGCD d et le PPCM m vérifient : 2m + 3d = 78 et tels que a ne soit pas un diviseur de b. Exercice 5 : Déterminer les paires d'entiers naturels {a,b} vérifiant: m - 18d = 791 où m est le PPCM et d le PGCD des nombres a et b. Exercice 6 : Trouver les couples d'entiers naturels (a,b) vérifiant le système: a + b = 651 PPCM(a,b) = 108.PGCD(a,b) Exercice 7 : Déterminer tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que PGCD(a,b) = 10 et PPCM(a,b) = 100 Exercice 8 : n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. 1. Montrer que n et 2n + 1 sont premiers entre eux. 2. On pose α = n + 3 et β = 2n + 1 et on note δ le PGCD de α et β . (a) Calculer 2α - β et en déduire les valeurs possibles de δ. (b) Démontrer que α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n - 2) est multiple de 5. 3. On considère les nombres a et b définis par : a = n3 + 2n² - 3n b = 2n² - n - 1 Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par (n - 1). 4. (a) On note d le PGCD de n(n + 3) et de (2n + 1). Montrer que δ divise d, puis que δ = d. (b) En déduire le PGCD, Δ, de a et b en fonction de n. (c) Application : Déterminer Δ pour n = 2001; Déterminer Δ pour n = 2002. Exercice 9 : On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux. On pose S = x + y et P = xy. 1. (a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S. (b) En déduire que S = x + y et P =xy sont premiers entre eux. (c) Démontrer que les nombres S et P sont de parité différentes (l'un pair, l'autre impair). 2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant. 3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 84. 4. Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes : a + b = 84 ab = d3 avec d = PGCD(a ; b) (On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux) Exercice 10 : 1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n3 - 11n + 48 est divisible par n + 3. (b) Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n² - 9n + 16 est un entier naturel non nul. 2. Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a, b et c, l'égalité suivante est vraie : PGCD(a ; b) = PGCD(bc - a ; b). 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, l'égalité suivante est vraie : PGCD(3n3 - 11n ; n +3) = PGCD(48 ; n+3). 4. (a) Déterminer l'ensemble des diviseurs entiers naturels de 48. (b) En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que (3n3 - 11n)/(n+3).