Chapitre 2 : TRIGONOMETRIE Capacités connaissances

Chapitre 2 : TRIGONOMETRIE
Comment déterminer des distances par triangulation ?
Quelle est l’origine du radian ?
Comment définir le sinus et le cosinus d’un angle ?
Comment modéliser une tension électrique ?
Capacités
-Placer, sur le cercle trigonométrique, le point M image
d’un nombre réel x donné.
-Déterminer graphiquement, à l’aide du cercle
trigonométrique, le cosinus et le sinus d’un nombre réel
pris parmi les valeurs particulières.
-Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur
approchée du cosinus et du sinus d’un nombre réel donné.
-Réciproquement, déterminer, pour tout nombre réel k
compris entre -1 et 1, le nombre réel x tel que cos x = k
ou sin x = k.
-Passer de la mesure en degré d’un angle géométrique à sa
mesure en radian et réciproquement.
-Construire point par point, à partir de l'enroulement de R
sur le cercle trigonométrique, la représentation graphique
de la fonction sin x.
-Établir des liens entre le vecteur de Fresnel d’une tension
ou d’une intensité sinusoïdale de la forme a sin( t + ) et
la courbe représentative de la fonction qui à t associe
a sin( t + ).
connaissances
-Cercle trigonométrique.
-Image d’un nombre réel x donné sur le cercle
trigonométrique.
-Cosinus et sinus d’un nombre réel.
-Propriétés :sin²x + cos²x =1
-Les mesures en degré et en radian d’un angle sont
proportionnelles ( radians valent 180 degrés).
-Courbe représentative de la fonction sin x
-Représentation de Fresnel d’une grandeur sinusoïdale.
I) Comment déterminer des distances par triangulation ?
1)
Avec un triangle rectangle
On désire déterminer la distance Calais-Douvres AB ainsi
que la distance Cap gris Nez-Douvres AC .
On connaît la distance Calais- Cap gris Nez BC=20 km
ainsi que la valeur de l’angle CBA = 46.44°.Le triangle
(ABC) est rectangle en C
Donner les relations trigonométriques dans (ABC)
A
B
C
En déduire les distances AB et AC
2)
Dans un triangle quelconque
O
a) Problème : On désire déterminer la distance entre la Terre et la Lune .
2 observateurs se situant en A et en B mesure la valeur de l’angle entre la verticale
( le zenith ) et la planète .
Les valeurs sont AB = 5000 km , ( BOA)==0.5° et (OAB) = 35.166°
Les relations utilisées en 1) sont-elles utilisables ? Pourquoi ?
A
b) Recherche d’une relation dans le triangle (OAB)
On considère un triangle quelconque (ABC)
Déterminer les valeurs suivantes
c
a
b
c
A
B
C
b
B
O
a
C
Dans le triangle (OBC) ,exprimer OB en fonction de (C) et de a
Dans le triangle (OBA) ,exprimer OB en fonction de (A) et de c
En déduire une relation entre (C) , (A) , a et c
Avec la même démarche , proposer une relation entre (C) , (B) , b et c
Dans un triangle (ABC) on a la relation
Vérification
c) Retour au problème
Etablir une relation dans le triangle (OAB) et calculer la distance OB
La distance Terre-Lune est de
II) Quelle est l’origine du radian ?
1)
Le cercle trigonométrique et le radian
Les grecs ont beaucoup étudiés les angles pour l’astronomie .Le point de départ de leurs études est
:
On a représenté un cercle trigonométrique à l’échelle 4/1 .Avec votre règle , placer le point R tel que la longueur de l’arc (AR) = 1 soit
sur le dessin
On définit le radian comme
!
O
P
A
Mesurer la longueur de l’arc (AP) =
On définit
!
2)
Relation entre le radian et le degré
Compléter le tableau
Longueur
De l’arc AR
Cercle
entier
Demicercle
Tiers de Quart de
cercle
cercle
Sixième
de
cercle
Mesure de
(AOR)
En radians
Mesure de
(AOR)
En degré
Conversion entre le radian et le degré
!
Exercice : Exprimer /8 en degré
-/4 en degré
120° en radian
III) Comment définir le sinus et le cosinus d’un angle ?
1)
Définition
Soit le point M du cercle trigonométrique tel que (AOM) = /3
Déterminer les coordonnées de M
A la calculatrice , calculer cos /3 =
et sin /3 =
Comparer les valeurs
O
P
A
Dans un repère orthonormé associé au cercle trigonométrique,
soit un point M sur le cercle trigonométrique défini par sa valeur
d’angle a
Le cosinus de a est
!
Le sinus de a est
2)
Propriétés
a) Quel que soit la position du point M , entre quelles valeurs l’abscisse et l’ordonnée de M restent-elles comprises ?
!
b)
3)
Valeurs particulières
Valeur de l’angle a
Cos a
!
Sin a
Calculs éventuels








4)
Recherche d’angle
a)
Résolution de l’équation cos x = k sur [ - ]
On cherche à résoudre l’équation cos x = -0,6 sur [ - ] . Déterminer graphiquement la solution de l’équation en utilisant
le cercle trigonométrique
On trouve x =
A l’aide de la calculatrice, résoudre l’équation
Pour retrouver la valeur d’un angle à partir de son cosinus,
!
O
P
A
b) Résolution de l’équation sin x = k sur [ - ]
On cherche à résoudre l’équation sin x = 0,7 sur [ - ] .
Déterminer graphiquement la solution de l’équation en
utilisant le cercle trigonométrique
On trouve x =
A l’aide de la calculatrice, résoudre l’équation
!
Pour retrouver la valeur d’un angle à partir de son sinus ,
IV) Comment modéliser une tension électrique ?
1)
Représentation de la fonction sinus
On désire construire la représentation graphique de la fonction sinus sur l’intervalle [0 ; 2 ]
On obtient une
Calculer sin( 
La fonction sinus est
et sin( 

On a
On peut utiliser la fonction sinus pour modéliser les tensions électriques.
Pour cela on définit la fonction U telle que U(t) = Axsin ( Bt+C) .Reste à définir physiquement A , B et C
2)
Modélisation d’une tension
a)
Que représente A ?
Soient 2 fonctions f et U où U correspond à une tension électrique
Trouver la relation entre f et U
Donner le maximum de U
A quoi correspond elle physiquement ?
Donc U(t) =
b)
Que représente B ?
On représente les fonctions suivantes :
f(t) = sin(t)
g(t) = sin(2t)
h(t) = sin(4t)
Déterminer les périodes de chaque fonction
Valeur de B
Période
en fonction de 
En déduire une relation entre B , T et .
B est appelé
Donc U(t) =
c) Que représente C ?
On représente sur GéoGébra 2 fonctions : sin(t) et sin(t+/2)
Qu’observez vous ?
C est appelé
d)
Conclusion
Toute tension sinusoïdale peut être modélisée par la fonction U(t) =