Quatrièmes Chapitre n°2 : Nombres relatifs en écriture fractionnaire Année scolaire 2008/2009 Rappel : Une fraction est un quotient d'entiers. Exemples : 3 4 ; −23 11 11,5 n'est pas une fraction. Il s'agit d'une écriture fractionnaire. 9 Le nombre qui est au-dessus du trait de fraction est appelé le numérateur et celui qui est en-dessous le dénominateur. Mais, I) Quotients égaux : Régle : On ne change pas le quotient de deux nombres relatifs quand on multiplie (ou quand on divise) son numérateur et son dénominateur par le même nombre différent de zéro. Exemples : x 50 x2 ÷4 x16 6 3 6 1,5 24 150 – 4 = 8 = 2 = 32 = 200 = −8 3 dans cet exemple est la fraction la plus simple que l'on puisse obtenir. 4 Par la suite, on essaiera le plus souvent d'obtenir la fraction la plus simple possible dans les calculs. La fraction Application à la simplification de fractions : Exemple : On souhaite trouver la fraction la plus simple égale à 24 : 15 -On décompose le numérateur en produits -On fait de même avec le dénominateur. -On barre les facteurs communs entre le numérateur et le dénominateur 24 = 8×3 = 8 15 5×3 5 La fraction 8 24 est la plus simple de celles qui sont égales à 5 15 Remarque : Lors des simplifications, attention à ne pas oublier les signes négatifs éventuels. II) Addition et soustraction de nombres relatifs en écriture fractionnaire : Règle : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire : - Les deux écritures doivent possèder le même dénominateur - On additionne (ou on soustrait) les numérateurs - Le dénominateur du résultat est le dénominateur commun - On essaie de simplifier la fraction résultat. Exemples : 3 −9 A= + 7 7 3 – 9 = 7 = –6 On ne peut pas simplifier davantage cette fraction. 7 8 21 8 = 21 8 = 21 −7 = 21 B= =- 5 7 5×3 7×3 15 21 – Cette fraction peut encore être simplifiée −1 7×1 = 3 7×3 III) Multiplication de nombres relatifs en écriture fractionnaire : Règle : Pour calculer le produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire : - On multiplie les numérateurs entre eux - On multiplie les dénominateurs entre eux On doit repecter la règle des signes de la multiplication Exemples : 2 −4 A= x 3 5 2× – 4 = 3×5 = –8 15 10 7 22 10 =x 1 7 B = -22 x =- −220 22×10 = 7 1×7 Remarque : On essaiera toujours de simplifier les fractions initiales en décomposant numérateurs et dénominateurs sous forme de produits. Exemples : 21 15 C=x 10 14 3×7×3×5 =2×5×2×7 = – 9 4 63 – 56 x 40 49 9×7×8×7 =8×5×7×7 D= = −9 5 IV) Division de nombres relatifs en écriture fractionnaire : 1) Inverse : a b Si a et b sont deux nombres tels que b ≠ 0 , a pour inverse le nombre b a 5 6 Exemples : L'inverse de est 6 5 ATTENTION : L'inverse d'un nombre est du même signe que ce nombre. 8 7 L'inverse de – est 7 8 4 1 L'inverse de - 4 est (en effet : 4 = ) 1 4 Remarque : Ne pas confondre inverse avec opposé 1 Exemple : l'inverse de -4 est alors que l'opposé de - 4 est + 4. 4 2) Règle : Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l'inverse de la deuxième. a b a d C'est-à-dire : Si b ≠ 0 , c ≠ 0 et d ≠ 0 , alors = x b c c d Exemples : 3 4 10 4 = x 10 5 3 5 4×2×5 = 5×3 = 8 3 Remarque : Quand on n'utilise pas le symbole mais plutôt le trait de fraction, il faut bien aligner le trait principal avec les symboles opératoires et les signes d'égalité. Sinon, il y a risque d'erreur. 3 5 3 3 3 2 6 12 3 1 Exemple : = x = mais 3 = x = = 2 10 5 1 5 5 10 10 2 5 2