TD 1 Arithmétique : logique, ensembles

TD 1 Arithmétique : logique, ensembles
Exercice 1. Soit I un intervalle non vide de R et f : I → R une fonction définie sur I. Exprimer les
négations des assertions suivantes :
1) ∀x ∈ I, f (x) 6= 0
2) ∀y ∈ R, ∃x ∈ I, f (x) = y
3) ∃M ∈ R, ∀x ∈ I, |f (x)| ≤ M
4) ∀x, y ∈ I, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
5) ∀x, y ∈ I, f (x) = f (y) ⇒ x = y
6) ∀x ∈ I, f (x) > 0 ⇒ x ≤ 0
Exercice 2. Même contexte que l’exercice précédent : soit f : I → R. Exprimer à l’aide de quantificateurs, les assertions suivantes :
1) La fonction f s’annule
2) f n’est pas une fonction constante
3) f ne prend jamais deux fois la même valeur
4) f ne peut s’annuler qu’une fois
5) f admet un minimum
Exercice 3. Soient A, B deux parties d’un ensemble E. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur A, B pour que l’équation
A∩X =B
admette une solution X ∈ P(X).
Même question pour l’équation A ∪ X = B, et A 4 X = B.
Exercice 4. Fonctions caractéristiques :
Rappel. Soit E un ensemble, A ∈ P(E). La fonction caractéristique de A est la fonction
E
χA : x
x
→
{0, 1}
7
→
1 si x ∈ A
7→ 0 si x 6∈ A
Soient A, B deux parties de E. On note χA et χB leurs fonctions caractéristiques respectives. Montrer
que : 1 − χA ; χA χB ; χA + χB − χA χB ; sont les fonctions caractéristiques de trois ensembles (dépendant
de A et B) que l’on déterminera.
Indication : On pourra montrer d’abord que si f est une fonction définie sur E à valeurs dans {0, 1},
il existe un ensemble D = {x ∈ E, f (x) = 1} ⊂ E dont f est la fonction caractéristique.
Exercice 5. Un peu de topologie :
B(a, r) est le disque dans le plan R2 de centre a et de rayon r. 0 est (bien sûr) le point (0, 0) de R2 .
Décrire les ensembles suivants :
\
[
A=
B(0, r) et B =
B(0, r)
r>0
r>0
Exercice 6. Décrire P(P({a})), où a est un élément.
Exercice 7. Soit E, F deux ensembles et f : E → F une application. Montrer :
1
1) f est injective ⇔ ∃g : F → E, g ◦ f = IdE
2) (très, très difficile) f est surjective ⇔ ∃g : F → E, f ◦ g = IdF
3) Soit h : F → E telle que f ◦ h = IdF ; montrer qu’alors f est surjective et h est injective.
Exercice 8. Soit E, F deux ensembles, f : E → F une application. Soit
Φf :
P(F ) →
B
7→
P(E)
f −1 (B) = {x ∈ E, f (x) ∈ B}
1) Vérifier que Φf est bien une application
2) Que vaut Φf (F ) ? Φf (∅) ?
3) Montrer que si f est injective, alors Φf est surjective.
Indication : on pourra (pour montrer 3) remarquer qu’on a toujours B ⊂ f −1 (f (B)), et que
f est injective ⇔ ∀B ⊂ F, B = f −1 (f (B))
Exercice 9. Soit E un ensemble, A, B ⊂ E deux sous-ensembles de E, et Φ :
Montrer que Φ est injective si et seulement si A ∪ B = E.
2
P(E) → P(A) × P(B)
.
X
7→ (X ∩ A, X ∩ B)