Lycée Clemenceau - Reims ECE1 Colle 10 Logique, ensembles et applications - Continuité Question de cours Union et intersection: définitions et propriétés algébriques. Exercice 1 On considère la fonction f (x) = x + ln(x). 1. Montrer que f réalise une bijection de R∗+ sur R. 2. Justifier que pour tout entier n ≥ 1, l’équation f (x) = n possède une unique solution que l’on notera xn . 3. Étudier la monotonie de la suite (xn ) et sa convergence. 4. Montrer que xn ≤ n, puis que xn ≥ n − ln(n) (en utilisant la relation f (xn ) = n). xn . n→+∞ n 5. En déduire lim √ Exercice 2 x2 + 1 − 1 1. Étudier la continuité de la fonction f (x) = x 0 si x 6= 0, . si x = 0. 1 2. Soit g la fonction définie par g(x) = ln(x) ln(x) . (a) Déterminer l’ensemble de définition et de continuité de g. (b) Admet-elle un prolongement par continuité? Exercice 3 1. Soient A, B, C trois ensembles. Démontrer que: A ∪ B = B ∩ C ⇒ A ⊂ B ⊂ C. 2. L’application f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (y, x + 2y) est-elle injective? surjective? bijective? Exercice 4 Soit E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F et g une application de F dans G. 1. Montrer que, si g ◦ f est injective, alors f est injective. 2. Montrer que, si g ◦ f est surjective, alors g est surjective. Exercice 5 On considère, pour tout entier n ≥ 1, la somme Sn = X 1≤i≤j≤n i2 . j(2j + 1) 1. Construire une procédure qui, étant donné un entier n ≥ 1, calcule et affiche Sn . 2. Déterminer une expression de Sn en fonction de n. 1 Lycée Clemenceau - Reims ECE1 Colle 10 Logique, ensembles et applications - Continuité Question de cours Application surjective: définition et caractérisation. Exercice 6 Pour tout entier n ≥ 3, on pose fn (x) = xn + x2 + 2x − 1 = 0. 1. Montrer que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution positive qu’on notera xn . 1 2. Montrer que xn ∈ [0, ]. 2 1 3. Déterminer le signe de fn+1 (x) − fn (x) pour tout x ∈ [0, ]. 2 4. En déduire la monotonie de la suite (xn )n≥3 . 5. En déduire qu’elle converge vers une limite qu’on notera `. 6. En utilisant la question 2., montrer que lim xnn = 0. n→+∞ 7. En utilisant la relation f en déduire la valeur de `. Exercice 7 xe1/x 1. Étudier la continuité de la fonction f (x) = 0 2 x ln(x) si x < 0, si x = 0, . si x > 0 x−1 2. Soit g la fonction définie par g(x) = √ . x−1 (a) Déterminer l’ensemble de définition et de continuité de g. (b) Admet-elle un prolongement par continuité? Exercice 8 1. Soient A et B deux ensembles. Démontrer que: A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B. 2. L’application f : Z → Z, n 7→ n − 2 est-elle injective? surjective? bijective? Exercice 9 On considère, pour tout entier naturel n, la somme Sn = X i2j . 0≤i,j≤n 1. Construire une procédure qui, étant donné un entier naturel n, calcule et affiche Sn . 2. Déterminer une expression de Sn en fonction de n. 2 Lycée Clemenceau - Reims ECE1 Colle 10 Logique, ensembles et applications - Continuité Question de cours Application injective: définition et caractérisation. Exercice 10 Pour tout n ∈ N∗ , on pose fn (x) = x5 + nx − 1. 1. Justifier que fn est définie, continue et dérivable sur R. Dresser le tableau de variations de fn . 2. Montrer que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution positive qu’on notera xn . 3. Déterminer le signe de fn+1 (x) − fn (x) pour tout x ∈ R+ , puis montrer que la suite (xn )n≥1 est décroissante. 1 4. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , 0 < xn < . n 5. En déduire le comportement asymptotique de la suite (xn )n≥1 . 2 x Exercice 11 |x| 1. Étudier la continuité de la fonction f (x) = 0 1/x e si x > 0, si x = 0, si x < 0. . 2. Soit g la fonction définie par g(x) = x ln(x). (a) Déterminer l’ensemble de définition et de continuité de g. (b) Admet-elle un prolongement par continuité? Exercice 12 1. Soient A et B deux ensembles. Démontrer que: A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B. 2. L’application f : N → Z, n 7→ −n est-elle injective? surjective? bijective? Exercice 13 On considère pour tout entier n ∈ N∗ l’équation suivante: (En ) x5 + x + 1 = n. 1. Montrer que la fonction f (x) = x5 + x + 1 réalise une bijection de R sur un intervalle J que l’on précisera. 2. Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , l’équation (En ) admet une unique solution notée xn . 3. Soit f −1 la bijection réciproque de f . Donner le tableau de variation de f −1 . 4. En déduire que la suite (xn ) est croissante et étudier sa convergence. Exercice 14 On considère, pour tout entier n ≥ 1, la somme Sn = X i. 1≤i≤j≤n 1. Construire une procédure qui, étant donné un entier n ≥ 1, calcule et affiche Sn . 2. Déterminer une expression de Sn en fonction de n. 3