Math. Sup. 2011-2012 T.D. Algèbre n° 4 Math. Exercice 1 Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité des applications suivantes : i) f : [ 0;1] → [ −1;1] f ( x) = x 2 ii) g : [0; π] → [−1;1] g ( x) = sin x iii) j : ℂ → ℝ + j(z) = | z | Exercice 2 Soient f et g deux fonctions de ℕ dans ℕ définies par : x si x est pair 2 f(x) = 2 x et g(x) = x − 1 si x est impair 2 i) Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f et g. ii) Préciser g f et f g puis étudier leur injectivité et leur surjectivité. Exercice 3 R→R Soit la fonction f : x֏ x . 1+ x i) Montrer que f est une bijection de ℝ sur une partie J de ℝ à préciser. ii) Expliciter f -1. Exercice 4 Soient E, F et G des ensembles et f : E → F et g : F → G des applications. Montrer que : i) si g f est injective et f surjective, alors g est injective ii) si g f est surjective et g injective, alors f est surjective T.S.V.P. ICAM Toulouse I1 Exercice 5 Soit f : E → F une application. Montrer que : i) f surjective ⇔ ∀ B ⊂ F , f ( f −1 ( B)) = B ii) f injective ⇒ ∀ A ⊂ E , f ( A) ⊂ f ( A) Exercice 6 Soit (E, *) un magma avec E = ℝ et la l.c.i. * définie par : x * y = x y + (x2 – 1 ) (y2 – 1). i) Vérifier que ii) Résoudre dans E : 2 * x = 5 puis x * x = 1. * est commutative, non associative et admet un élément neutre. Exercice 7 Soit (E, *) un monoïde. Un élément x de E est dit idempotent si et seulement si x * x = x. Montrer que si x et y sont idempotents et commutent alors x * y est idempotent. Exercice 8 Soit * une l.c.i. définie dans ℝ par : x * y = x + y – xy. i) Etudier l’associativité, la commutativité, l’existence de l’élément neutre et l’existence de l’élément symétrique pour la loi * ii) Pour (n; a ) ∈ ℕ * ×ℝ , exprimer : a * a * … * a (n fois) à l’aide de a de n et des lois usuelles dans ℝ. ICAM Toulouse I1