1 Introduction au langage mathématique - IMJ-PRG

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Introduction au langage mathématique
1.1
”et”, ”ou”, ”implique”
Exercice 1.1. Soient des propositions P, Q, R, S. Écrire la négation des assertions suivantes
P ⇒ Q,
P et non Q,
P et (Q et R),
P ou (Q et R),
(P et Q) ⇒ (R ⇒ S).
Exercice 1.2. Traduire la phrase : ”Il n’y a pas de fumée sans feu” à l’aide du
signe ⇒.
Exercice 1.3. Montrer que (1 = 2) ⇒ (3 = 4).
Exercice 1.4. Considérons l’énoncé : ”On ne peut voter sans avoir la majorité.”
a) Écrire cet énoncé à l’aide du signe ⇒.
b) Les raisonnements suivants sont-ils corrects ?
– Paul a voté, donc Paul a la majorité.
– Pierre n’a pas voté, donc Pierre n’a pas la majorité.
– Marie est majeure, donc Marie a voté.
Exercice 1.5. Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose :
⇔, ⇐ ou ⇒ .
1. x ∈ R x2 = 4 . . . x = 2 ;
2. z ∈ C z = z . . . z ∈ R ;
3. x ∈ R x = π . . . e2ix = 1.
Exercice 1.6. Soient A, B, C, D quatre propositions. Montrer l’équivalence suivante :
(A ou B) et (C ou D) ⇐⇒ (A et C) ou (A et D) ou (B et C) ou (B et D).
Comme application, résoudre le système :
(x − 1)(y − 2) = 0
(x − 2)(y − 3) = 0
1.2
Quantificateurs
Exercice 1.7. Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui
ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
Exercice 1.8. Nier les assertions suivantes :
1. tout triangle rectangle possède un angle droit ;
2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;
3. pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la
relation z < x implique la relation z < x + 1 ;
1
4. ∀ > 0, ∃α > 0 tel que |x − 7/5| < α ⇒ |5x − 7| < .
Exercice 1.9. Sur l’ensemble F des femmes, on considère la proposition P (x, y) :
”x est la fille de y”. Traduisez les phrases suivantes en termes de quantificateurs :
1. On peut trouver deux femmes dont l’une est la fille de l’autre.
2. Il y a une femme qui est la fille de toutes les autres.
3. Toute femme a au moins une fille.
4. On peut trouver une femme mère de toutes les autres.
5. Toute femme a une mère.
6. Toute femme est fille de toute femme.
Pour chacune des expresssions obtenues, traduire ce qui se passe quand on remplace P (x, y) par sa négation.
Exercice 1.10. Soit f : R → R une fonction donnée. considérons la propriété
suivante : ”pour x supérieur ou égal à 2, f (x) est positif ou nul”.
a) Écrire cette propriété avec des signes logiques de deux manières différentes,
en utilisant le signe ⇒ et sans l’utiliser.
b) Comparer leur négation.
2
Exemples de raisonnement
Exercice 2.1. par l’absurde
a) Soient p1 , p2 , . . . , pr des nombres premiers. Montrer que l’entier N =
p1 p2 . . . pr + 1 n’est divisible par aucun des entiers pi .
b) Utiliser la question précédente pour montrer par l’absurde qu’il existe une
infinité de nombres premiers.
Exercice 2.2. par l’absurde
Soit X un ensemble et f une application de X dans l’ensemble P(X) des
parties de X. On note A l’ensemble des x ∈ X vérifiant x ∈
/ f (x). Démontrer
par l’absurde qu’il n’existe aucun x ∈ X tel que A = f (x). (Indication : s’il
existe un tel x, distinguer le cas où x ∈ A et le cas où x 6∈ A.)
Exercice 2.3. par récurrence
Comparer 3n et n!.
Exercice 2.4. récurrence forte
Démontrer par récurrence que tout nombre entier n ≥ 2 est un produit de
nombres premiers.
Exercice 2.5. Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 on a
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ··· + 2 < 2
12
2
3
n
(Indication : plutôt que de démontrer que c’est < 2, démontrez que c’est <
2 − 1/n).
2
Exercice 2.6. Soit (un )n∈N la suite définie par u0 = 2, u1 = 3 et
∀n > 2,
un = 3un−1 − 2un−2 .
Pour tout n ∈ N, on appelle P (n) la propriété ”un = 2n ” et Q(n) la propriété
”un = 2n + 1”.
1. Montrez que les propriétés P (n) et Q(n) sont héréditaires.
2. Montrez que P (n) est toujours fausse et que Q(n) est toujours vraie.
3
Application en analyse
Exercice 3.1. Soient les quatre assertions suivantes :
∃x ∈ R tel que ∀y ∈ R, x + y > 0;
∀x ∈ R, ∀y ∈ R,
∀x ∈ R, ∃y ∈ R tel que x + y > 0;
∃x ∈ R tel que ∀y ∈ R,
x + y > 0;
y 2 > x.
a) Ces assertions sont-elles vraies ou fausses ?
b) Donner leur négation.
Exercice 3.2. Soit f une application de R dans R. Nier, de la manière la plus
précise possible, les énoncés qui suivent :
1. Pour tout x ∈ R f (x) ≤ 1.
2. L’application f est croissante.
3. L’application f est croissante et positive.
4. Il existe x ∈ R+ tel que f (x) ≤ 0.
Exercice 3.3. Soient (un ) une suite de nombres réels. Traduire avec des quantificateurs les expressions suivantes : (un ) est bornée, (un ) est majorée, (un ) ne
s’annule jamais, (un ) est croissante à partir d’un certain rang, (un ) n’est pas la
suite nulle.
Exercice 3.4.
a) Soit a un nombre réel tel que ∀ > 0, |a| 6 . Montrer que a = 0.
b) Soit a et b des nombres réels tels que ∀ > 0, a 6 b + . Montrer que
a 6 b.
Exercice 3.5. Parmi les assertions suivantes, déterminer celles qui sont vraies :
∀ x ∈ R, x 6 x2 ;
∀ (x, y) ∈ R2 , x2 6 y 2 ⇒ x 6 y;
∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R tel que y = x2 ;
∀ n ∈ N, ∃ m ∈ N tel que n < m;
∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R tel que y 2 = x;
∃ n ∈ N tel que ∀ m ∈ N, n < m;
∀(a, b, x, y) ∈ R4 , (a 6 b et x 6 y) ⇒ ax 6 by
∀(a, b, x, y) ∈ R4 , (a 6 b et x 6 y) ⇒ a − x 6 b − y
∀(a, b) ∈ R∗ × R∗ , a 6 b ⇒ b−1 6 a−1
Exercice 3.6. Montrer que ∀ > 0, ∃N ∈ N tel que
∀n ∈ N,
n≥N ⇒2−<
3
2n+1
n+2
< 2 + .
4
Ensembles
Exercice 4.1. Parties d’ensembles.
Soit E un ensemble contenant au moins deux éléments. Si A est une partie
de E, on note Q(A) l’ensemble des parties de E incluses dans A. Montrer que
l’énoncé suivant est faux :
∀A ∈ P(E), ∀B ∈ P(E), Q(A) ∪ Q(B) = Q(A ∪ B).
Exercice 4.2. Produits d’ensembles.
Montrer que l’ensemble
{(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 6 1}
ne peut pas s’écrire sous la forme A × B, où A et B sont des parties de R.
Exercice 4.3. Fonctions caractéristiques.
Soit E un ensemble. Si A est une partie de E, la fonction caractéristique de
A est la fonction a : E → {0, 1} définie par a(x) = 1 si x ∈ A et a(x) = 0 sinon.
a) Que valent les fonctions caractéristiques de E et de ∅ ?
b) Montrer que pour toute fonction a : E → {0, 1} il existe une unique partie
A de E dont a soit la fonction caractéristique.
c) Soit A et B deux parties de E, dont on note a et b les fonctions caractéristiques.
d) Quelles sont les parties de E dont les fonctions caractéristiques sont 1 − a,
ab et a + b − ab ?
e) Exprimer la propriété ”A ⊂ B” en fonction de a et b.
La différence symétrique de A et B est la partie A∆B = (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B).
f) Montrer que la fonction caractéristique de A∆B est (a − b)2 .
g) Montrer que (A ∩ B)c = Ac ∪ B c et (A ∪ B)c = Ac ∩ B c en calculant les
fonctions caractéristiques de chacun des membres de ces équations.
Exercice 4.4. Soit E un ensemble non vide. Soient A, B et C des parties de
E. On note A − B = A ∩ B c la différence de A et B. Démontrer que
A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B;
A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B;
(A ∪ C ⊂ A ∪ B et A ∩ C ⊂ A ∩ B) ⇔ C ⊂ B;
A ∩ B = A ∪ B ⇔ A = B;
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A);
A ∩ (B − A) = A ∪ B;
(A − B) ∩ (A ∩ B) ∩ (B − A) = A ∪ B;
(A − B) − C = A − (B ∪ C);
(A − B) ∩ (C − D) = (A ∩ C) − (B ∪ D).
4
5
Applications
Exercice 5.1. Soient E et F deux ensembles finis. On note m et n leurs cardinaux respectifs.
a ) Quand existe-t-il une injection f : E → F ?
b) Quand existe-t-il une surjection g : E → F ?
c) Quand existe-t-il une bijection h : E → F ?
Exercice 5.2. Soit E un ensemble et P(E) l’ensemble des parties de E. En
vous inspirant de l’exercice 2.2, démontrez par l’absurde qu’il n’existe pas de
bijection f : E → P(E).
Exercice 5.3. Soient f , g et h trois applications de N dans N définies par
(
(
x si x est pair
x/2 si x est pair
f (x) = 2x, g(x) =
, h(x) =
0 si x est impair
(x + 1)/2 si x est impair
a) Etudier l’injectivité et la surjectivité de ces applications. b) Déterminer h ◦ f
et f ◦ h.
Exercice 5.4. Soit f : Z × N∗ → Q définie par f (p, q) = p + 1q . Montrer que f
est injective, mais qu’elle n’est pas surjective.
Exercice 5.5. Exhiber une bijection de Z dans N et expliciter sa bijection
réciproque.
Exercice 5.6. Soit une application f : X → Y .
a) Montrer qu’il existe une application g : Y → X telle que g ◦ f = idX si
et seulement si f est injective. A quelle condition sur f l’application g est-elle
unique ?
b) Montrer qu’il existe une application g : Y → X telle que f ◦ g = idY si
et seulement si f est surjective. A quelle condition sur f l’application g est-elle
unique ?
Exercice 5.7. Soient deux applications i : E → F et s : F → G. Démontrer
que :
a) s ◦ i est injective ⇒ i est injective.
b) s ◦ i est surjective ⇒ s est surjective.
c) Etudier les implications réciproques.
Exercice 5.8. Soit une application f : E → F . Démontrer que :
a) f est injective ssi ∀A ⊂ E, f −1 (f (A)) = A.
b) f est surjective ssi ∀B ⊂ F , f (f −1 (B)) = B.
c) f est injective ssi ∀A ⊂ E, ∀B ⊂ E, f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
5
.
6
Réels et rationnels
Exercice 6.1. Dans cet exercice nous allons montrer qu’il existe
√ deux nombres
irrationnels a et b tels que ab soit rationnel.
On
rappelle
que
2 est irrationnel.
√ √2
a ) Le montrer en supposant que √2
est rationnel.
√ 2
b) Le montrer en supposant que 2 n’est pas rationnel (on pourra calculer
√ √2 √2
( 2 ) ).
√ √2
c) Conclure. Savez-vous si 2
est rationnel ou non ?
Exercice 6.2.
a) Démontrer que si r ∈ Q et x 6∈ Q alors r + x 6∈ Q. Si de plus r 6= 0,
montrer que r.x 6∈ Q.
b) En déduire qu’entre 2 nombres
√ rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra partir de 1 < 2 < 2 et montrer dans un premier temps
qu’entre deux entiers il y a toujours un nombre irrationnel).
Exercice 6.3. Soit x un réel. Montrer que la suite
E(nx)
n
un =
converge et calculer sa limite . (E désigne la partie entière et on rappelle que
pour tout y ∈ R, E(y) 6 y < E(y) + 1).
Exercice 6.4.
a) Mettre sous la forme pq les rationnels x dont les dévelopements décimaux
périodiques sont donnés par :
0, 200520052005...
et
0, 999999...
b) Rappeler pourquoi un nombre rationnel admet un développement décimal
périodique à partir d’un certain rang.
Exercice 6.5.
√
a) Existe-t-il un√nombre rationnel juste avant 2, i.e. un nombre rationnel
qui
√ soit inférieur à 2 et plus grand que tous les nombres rationnels inférieurs
à 2 ?
b) Une suite de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ?
c) Une suite de nombres irrationnels a-t-elle pour limite un nombre irrationnel ?
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Réels et notion d’ordre
Exercice 7.1. Calculer inf A et sup A, ainsi que le plus grand élément et le
plus petit élément de A (c’est-à-dire max(A) et min(A)), s’ils existent, dans les
cas suivants :
6
A = [−1, 1[, A = Q− , A = {1/n, n ∈ N∗ }, A = {x ∈ Q : x2 < 2}
Exercice 7.2. Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne
supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des
ensembles suivants :
n
o
1
[0, 1] ∩ Q , ]0, 1[∩Q , N , (−1)n + , n ∈ N∗ .
n
Exercice 7.3. Soit A et B deux parties bornées de R. Vrai ou faux ?
1. A ⊂ B ⇒ sup A ≤ sup B,
2. B ⊂ A ⇒ inf A ≤ inf B,
3. sup A ∪ B = max(sup A, sup B),
4. sup(A + B) < sup A + sup B,
5. sup(−A) = − inf A,
6. sup A + inf B ≤ sup(A + B).
Exercice 7.4. Soient A et B deux parties non vides de R telles que pour tout
x de A et tout y de B on ait x < y. Démontrer que sup A et inf B existent et
que sup A ≤ inf B.
Exercice 7.5. Soit A une partie non-vide de R tel que
∀x ∈ A, [x − 1, x + 2] ⊂ A.
Montrer que A = R.
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