Applications/Arithmétique
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PCSI 1
Applications/Arithmétique
L ycée
Applications
8
R → R
.
1 Soit f :
x 7→ x2
a) Calculer f ([−2, 2]) et f ([−1, 2]).
b) Calculer f −1 ([0, 3]), f −1 ([−1, 3]), f −1 ([−2, −1]).
(B) .
Soient E, F des ensembles, f : E → F une application et A, B ∈ P(E).
a) (Cours.) Montrer : f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
b) Montrer que si f est injective, f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B).
10
Arithmétique.
R2
→ R3
.
(x1 , x2 ) 7→ f ((x1 , x2 )) = (1, x1 + x2 , x1 − x2 )
11
Montrer que f est injective. Est-elle surjective ?
Soit f :
Montrer que pour tout n impair, le nombre 7n + 1 est divisible par 8.
Lorsque n est pair, donner le reste dans la division euclidienne de 7n + 1 par
8.
Indication : 7 = 8 − 1...
R → C
1+ix
x 7→ 1−ix
Soit l'application
f:
C∗ → C
z 7→ z +
1
z
13
Combien le nombre 10! a-t-il de diviseurs ?
14
Petit théorème de Fermat
p
1. Soit p un nombre premier et k ∈ J1, p−1K. Montrer que p divise
.
k
2. En déduire que p divise np − n.
.
3. En déduire que si p ne divise pas n, alors, il divise np−1 − 1.
1. L'application f est-elle injective ? Surjective ?
2. Montrer l'égalité f (U) = [−2, 2].
3. Décrire l'ensemble f −1 (iR).
Feuille d'exercices 10
Calculer le PGCD de 498 et de 222.
12
a) L'application est-elle bien dénie ?
b) L'application est-elle surjective ? Injective ?
c) Montrer que f (R) = U \ {−1}.
d) Déterminer f −1 (R).
7
Montrer que la relation ∼ dénie sur R par
est une relation d'équivalence. Pour x xé dans R, préciser le nombre d'éléments
dans la classe d'équivalence de x.
Soient E, F, G trois ensembles, f : E → F et g : F → G deux applications.
a) Montrer que si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.
b) Montrer que si g ◦ f est injective, alors f est injective.
6
si x ≥ 0
si x < 0.
x ∼ y ⇐⇒ xey = yex ,
4
x2
2x2
9
3
Soit l'application f :
On dénit comme suit une relation binaire sur Z : on dit qu'un entier x est
en relation avec un entier y , et on note x ∼ y si x + y est pair. Montrer que ∼
est une relation d'équivalence. Décrire les classes d'équivalence associées.
Soit f : E → F une application. Soient deux parties A ⊂ E et B ⊂ F .
Montrer l'égalité
−1
5
2 est irrationnel.
S
chweitzer
i) Montrer que f n'est pas injective.
ii) Montrer que f|Q (restriction de f à Q) est injective.
2
√
b) Soit l'application f : R → R dénie par f (x) =
f (A) ∩ B = f A ∩ f
a) Montrer que
Albert
1
2016-2017
