cours trigonométrie

3ème
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I - Rappel : cosinus d’un angle aigu
a) Vocabulaire :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé (face) à l’angle droit
est l’hypoténuse. Ici c’est BC
Si on s’intéresse à l’angled
B :
C
A
Le côté opposé à l’angle d
B est AC.
Le côté adjacent à l’angle d
B est AB.
Si on s’intéresse à l’angled
C :
B
Le côté opposé à l’angle d
C est AB.
Le côté adjacent à l’angle d
C est AC.
Remarque : d
B +d
C = 90°
b) Formule :
cos B̂ =
côté adjacent à d
B AB
=
hypoténuse
BC
côté adjacent à d
C AC
d
cos C =
=
hypoténuse
BC
Remarque : Comme l’hypoténuse est le plus grand côté, le cosinus d’un angle est
toujours plus petit que 1.
c) Exemples :
Exemple 1
Soit EFG rectangle en E tel que d
G = 35° et FG = 5 cm. Calculer EG.
Dans le triangle EFG rectangle en E, on a cos Ĝ =
EG
FG
EG = cos d
G × FG = (cos 35°) x 5 ≈ 4,1 cm
1
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Exemple 2
Soit STU rectangle en S tel que Û = 65° et US = 3 cm. Calculer UT.
Dans le triangle STU rectangle en S, on a cos d
U =
UT =
SU
cos d
U
=
SU
UT
3
≈ 7,1 cm
cos 65°
Exemple 3
a) Soit XYZ rectangle en X tel que XZ = 4 cm et YZ = 6 cm. Calculerd
Z.
Dans le triangle XYZ rectangle en X, on a :
XZ 4
cos d
Z=
=
YZ 6
A l'aide de la calculatrice, on obtient : d
Z ≈ 48,2 °
II - Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :
a) Formules :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
C
A
côté adjacent à d
B
AB
cos d
B =
=
hypoténuse
BC
côté opposé à d
B AC
sin d
B=
=
hypoténuse
BC
B
côté opposé à d
B
AC
tan d
B =
=
AB
côté adjacent à d
B
Remarque : Il y a un moyen pour se souvenir facilement de la formule :
S
O
H
opposé
sin =
hypoténuse
C A H
adjacent
cos =
hypoténuse
T O A
opposé
tan =
adjacent
2
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b) Exemples (on donnera des valeurs approchées à 0,1 près) :
Exemple 1 :
Soit IJK rectangle en K tel que IJ = 8 cm et Î = 50°. Calculer KJ.
Dans le triangle IJK rectangle en K, on a :
KJ
sin d
I=
KJ = (sin 50°) x 8 ≈ 6,13 cm
IJ
Exemple 2
Soit LMN rectangle en N tel que LN = 6,5 cm et NM = 3 cm.
Calculer d
M puisd
L.
Dans le triangle LMN rectangle en N, on a :
LN 6,5
=
d’où d
M ≈ 65,2 °
tan d
M =
3
MN
MN
3
tan d
L =
=
d’où d
L ≈ 24,8 °
LN 6,5
On vérifie que d
L +d
M = 90°
Exemple 3
Soit OPQ rectangle en O tel que OP = 5 cm et QP = 7 cm. Calculerd
Q.
Dans le triangle OPQ rectangle en O, on a :
OP 5
sin d
Q =
=
PQ 7
d
Q ≈ 45,6°
III - Formules et valeurs remarquables :
C
A
a) Formules
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
AB²
AC²
(cosd
B )2 =
(sind
B )2 =
B
BC²
BC²
AB² AC² AB² + AC²
D'où : (cosd
B )2 + (sind
B )2 =
+
=
BC² BC²
BC²
Or le triangle ABC étant rectangle en B, l'égalité de Pythagore qui lui est associée
s'écrit :
AB² + AC² = BC²
BC²
B )2 =
=1
On en déduit que : (cosd
B )2 + (sind
BC²
3
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Conclusion, pour tout angle aigu dont la valeur en degré est x :
on a : (cos x )2 + (sin x )2 = 1
AC
BC sin d
AC AC BC
B
d
D’autre part, tan B =
=
×
=
=
AB BC AB AB
cos d
B
BC
b) Valeurs remarquables :
•
Soit STU un triangle rectangle isocèle en S tel que ST = a.
Quelle est la mesure de l’anglea
TUS ?
En utilisant le théorème de Pythagore, calculer TU en fonction de a.
En déduire les valeurs exactes de cos 45° ,sin 45°.et tan 45°.
TU² = ST² + SA² = 2a²
=>
a
1
2
ST
=
=
=
cos(d
T) =
TU a 2
2
2
SU
a
1
2
sin (d
T) =
=
=
=
TU a 2
2
2
SU a
tan(d
T) =
= =1
ST a
•
U
TU = a 2
S
cos 45° =
sin 45° =
T
2
2
2
2
tan 45° = 1
E
Soit EFG un triangle équilatéral de côté a et H le pied de la
hauteur issue de E.
Quelles sont les mesures des angles a
EFH et a
FEH ?
Exprimer en fonction de a les longueurs FH et EH.
Trouver les valeurs exactes de cos 30°; cos 60°; sin
30° , sin 60°,tan.30° et tan 60°.
F
H
G
a
a
EFH = 60°
FEH = 30°
FH² + HE² = FE²
a²
a² 3a²
+ HE² = a²
HE² = a² =
4
4
4
FH =
a
et HE =
2
3a² a 3
=
4
2
a 3
2
3
EH
=
=3=
cos a
FEH =
a
2
EF
cos 30° =
3
2
4
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a
FH 2 1
sin a
FEH =
= =
EF a 2
sin 30° =
On vérifie que (sin 30° )² + (cos30°)² =
a
2
1
3
FH
=
=
=
tan a
FEH° =
3
EH a 3
3
2
a
FH 2 1
cos a
EFH =
= =
EF a 2
a 3
2
3
EH
=
=
sin a
EFH =
a
2
EF
a 3
2
EH
tan a
EFH =
=
=
a
FH
2
>
1
2
1 3
+ =1
4 4
tan 30° =
cos 60° =
1
2
sin 60° =
3
2
3
3
3
Tableau récapitulatif :
Angle
Cosinus
Sinus
tangente
30°
45°
3
2
2
2
60°
1
2
1
2
2
2
3
2
1
3
3
3
5