Sommaire de la séquence 8

Sommaire de la séquence 8
t Séance 1
........................................................................................................
J’étudie des triangles rectangles
............................................................................
t Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je découvre le sinus, la tangente
t Séance 3
..........................................................................
........................................................................................................
J’utilise le sinus pour déterminer un angle
t Séance 4
........................................................................................................
J’effectue des exercices
t Séance 5
..............................................................
.....................................................................................
........................................................................................................
Je cherche des valeurs exactes de sinus et de cosinus
...............................................
t Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’étudie une relation entre le sinus et le cosinus
t Séance 7
......................................................
........................................................................................................
Je cherche à savoir si le sinus d’un angle peut être égal à son cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t Séance 8
Je trouve une meilleure méthode pour faire une construction
.....................................
t Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t Objectifs
Ë Connaître la définition du sinus, de la tangente.
Ë
Connaître des relations liant sinus, cosinus et tangente.
Ë
Savoir résoudre des problèmes à l’aide de la trigonométrie.
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Séquence 8
Séance 1
J’étudie des triangles rectangles
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°8.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1- Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de
diamètre [BC]. Le triangle ABC est donc :
2
Le cosinus de l’angle E
d’un triangle EFG
rectangle en G est :
isocèle en A
équilatéral
EG
EF
EF
EG
FG
EF
EF
FG
rectangle en A
rectangle en B
3- Quel est l’arrondi au dixième du cosinus de
50° ?
4- Quel angle a pour cosinus 0,6 ? (donne son
arrondi au dixième de degré près)
0,64
53°
50
54°
0,6
1°
0,5
53,1°
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris :
« SÉQUENCE 8 : TRIGONOMÉTRIE ».
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te
reporter à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les
commentaires du professeur ».
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167
Séquence 8
EXERCICE 1
Les lettres M, N et P symbolisent trois ports de pêche
d’îles du Pacifique. Ces trois ports se trouvent sur un
même cercle représenté en pointillé sur le schéma cicontre. Son centre O est le milieu de [PN].
Problème : donner une valeur approchée de l’angle Pɵ
au centième de degré près.
1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes.
Si tu n’as pas réussi à résoudre le problème, effectue les questions suivantes.
2- Essaie de faire une figure à l’échelle sur laquelle un centimètre représente un km, et déduis-en à
l’aide d’un instrument de mesure une solution approchée du problème.
Si tu possèdes un ordinateur, essaie de construire une figure dynamique et fais mesurer l’angle Pɵ .
Arrives-tu à construire les figures ?
Si tu n’as pas réussi à construire les figures, ce n’est pas grave, passe à la question suivante.
3- Démontre que le triangle MNP est rectangle en M.
A l’aide de cette information supplémentaire, tu peux, si tu n’as pas réussi à construire les figures
dans la question 2, les construire maintenant.
4- Calcule PN.
5- Calcule l’arrondi au centième de degré de l’angle Pɵ puis réponds au problème posé.
Aide : utilise le cosinus de cet angle !
6- Prends une calculatrice et tape tan–1 (4/3). Que remarques-tu ?
Tape ensuite sin–1 (4/5). Que remarques-tu cette fois ?
Effectue l’exercice de la page suivante dans ton cahier d’exercices.
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Séquence 8
EXERCICE 2
1- Crée à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique deux
demi-droites [AB’) et [AC’), un point B sur [AB’), puis la
perpendiculaire à [AB’) passant par le point B, qui coupe [AC’)
en C.
AB BC
BC
,
et
.
Ensuite, fais afficher les quotients
AC AC
AB
Aide : Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique,
ouvre le fichier sequence8exercice2 à l’aide de Geogebra.
Déplace le point C sur la demi-droite [AC’). Que remarques-tu ?
, puis déplace à nouveau le
2- Déplace ensuite la demi-droite [AC’) de façon à changer l’angle B'AC'
point C sur la demi-droite [AC’). Que remarques-tu ?
3- De quoi semble dépendre uniquement le quotient
AB
BC
BC
? le quotient
? le quotient
?
AC
AC
AB
4- Nous allons démontrer les constatations faites dans la
question 3.
On étudie la figure ci-contre.
● Démontre que l’on a :
AB AC
AB AN
=
puis déduis-en :
=
.
AN AM
AC AM
● Démontre que l’on a :
BC AC
BC MN
=
puis déduis-en :
=
.
MN AM
AC AM
● Démontre que :
BC MN
=
.
AB AN
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 9, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des
pointillés horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le
résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon.
Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions.
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169
Séquence 8
Séance 2
Je découvre le sinus, la tangente
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.
JE RETIENS
Définition :
AB BC
BC
,
et
ne
AC AC
AB
.
dépendent que de la mesure de l’angle A
Dans un triangle rectangle, les rapports
Par définition :
longueur du côté adjacent à l 'angle A
AB
=
= cos A
longueur de l'hypoténuse
AC
».
On lit : « cosinus de A
BC longueur du côté opposé à l'angle A
=
= sin A
AC
longueur de l'hypoténuse
».
On lit : « sinus de A
longueur du côté opposé à l'angle A
BC
=
= tan A
AB longueur du côté adjacent à l 'angle A
».
On lit : « tangente de A
Remarques :
● le sinus, cosinus et tangente n’ont pas d’unité.
● le mot « SOHCAHTOA » permet de retenir les formules précédentes : « SOH » rappelle que le
Sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal à la longueur du côté Opposé divisée par la
longueur de l’Hypoténuse, « CAH » rappelle …
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices
EXERCICE 3
Les deux triangles KLM et RST ci-dessous
sont des triangles rectangles. Calcule :
a) ● sin M
● cos M
● tan M
b) ● sin R
● cos R
● tan R
Tu donneras l’arrondi de cos R et tan R au centième.
Rends-toi aux pages calculatrice à la fin de ce cours. Tu verras comment déterminer un angle dont on
connaît le sinus, ou un angle dont on connait la tangente.
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices
EXERCICE 4
Clément affirme que le sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est plus petit que 1. Qu’en
penses-tu ?
170 – Cned, Mathématiques 3e
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Séquence 8
Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours.
JE RETIENS
Propriété :
Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1.
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 5
Problème : déterminer une valeur approchée de la longueur AC au
millimètre près.
1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème posé. Tu peux
essayer de faire une figure, utiliser un logiciel de géométrie dynamique, ou encore essayer de
raisonner dans le triangle rectangle ABC. Chacune de ces méthodes peut te permettre de répondre au
problème posé.
2- Exprime sin 40° en fonction de AC. Déduis-en : AC =
5
.
sin 40°
3- Pour déterminer, AC, il suffit de connaître la valeur de sin 40°.
Pour cela, on peut utiliser le « quart de cercle trigonométrique » : c’est juste un quart de cercle de
rayon 1 dm.
Voici ci-dessous un quart de cercle de rayon 1 dm. Il va permettre, grâce à une lecture graphique, de
déterminer une valeur approchée du sinus et du cosinus d’un angle aigu.
a) Nous allons déterminer
graphiquement sin 40°.
comme quotient de
Écris sin LOK
deux longueurs puis démontre que :
OM = sin 40°.
Mesure ensuite OM afin de
déterminer une valeur approchée au
centième de sin 40°.
Déduis-en une valeur approchée de
AC.
b) La calculatrice permet d’obtenir un
résultat plus précis. Pour cela, on
utilise la touche sin
(de la même façon que l’on utilise la
touche cos pour trouver une valeur
approchée d’un cosinus).
Détermine un arrondi au mm de AC à
l’aide d’une calculatrice.
.
4- On pouvait également calculer AC en utilisant le cosinus de l’angle C
Détermine une valeur approchée de AC à l’aide de cette méthode.
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171
Séquence 8
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.
JE COMPRENDS LA METHODE
Détermine l’arrondi au millimètre de TR en cm
● Je regarde si je peux utiliser la trigonométrie.
Le triangle RST est rectangle en R.
● L’hypoténuse est connue et je cherche la longueur du côté opposé à Sɵ donc je pense à utiliser sin Sɵ .
TR
sin Sɵ =
TS
● Je remplace dans l’égalité trouvée ce que je connais, puis je cherche à déterminer TR.
TR
sin 37° =
8
d’où : TR = 8 sin 37°
● J’utilise une calculatrice puis je conclus.
TR ≈ 4,8 cm (arrondi au millimètre)
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 6
Détermine à l’aide d’une calculatrice l’arrondi au millième de :
a) sin 28°
b) sin 45°
c) sin 73°
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 7
Quelle distance en m l’avion va-t-il parcourir
avant de toucher le sol ? Tu donneras l’arrondi à
l’unité du résultat.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°10, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des
pointillés horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le
résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon.
Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions.
172 – Cned, Mathématiques 3e
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Séquence 8
Séance 3
J’utilise le sinus pour déterminer un angle
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 8
On place une échelle de 1,8 m contre un mur. Le point qui
touche le mur se trouve à 1,5 m de hauteur. Le sol est glissant :
ci-contre est inférieure à 60°, une
si la mesure de l’angle BAC
personne qui grimperait en haut de l’échelle risquerait de faire
tomber l’échelle.
Problème : l’angle que fait l’échelle avec le sol est-il suffisant
pour que quelqu’un puisse grimper en haut de l’échelle ?
1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème posé. Tu peux essayer de faire une figure à l’
échelle (par exemple représenter 1 m par 1 dm). Tu peux également utiliser un logiciel de géométrie
dynamique, ou encore essayer de raisonner dans le triangle rectangle ABC. Chacune de ces méthodes
peut te permettre de répondre au problème posé.
. Déduis-en l’arrondi au centième de sin BAC
.
2- Détermine sin BAC
3- Pour déterminer
BAC , il suffit de
connaître la mesure d’un angle dont
le sinus est environ 0,83.
Pour cela, on utilise à nouveau un
quart de cercle de rayon 1 dm.
a) Place le point L :
● sur le quart de cercle,
.
● dont l’ordonnée est sin BAC
à l’aide d’un
b) Mesure l’angle IOL
rapporteur et résous le problème.
4a) La calculatrice permet d’obtenir un
résultat plus précis. Pour cela, on
utilise la touche Asn ou sin–1
de la calculatrice (de la même façon
que l’on utilise la touche Acs).
à l’aide d’une
Calcule BAC
calculatrice.
Tu donneras l’arrondi au centième.
en utilisant le cosinus de l’angle C
.
b) On pouvait également calculer BAC
à l’aide de cette méthode.
Détermine une valeur approchée de BAC
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173
Séquence 8
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.
JE COMPRENDS LA METHODE
Déterminer l’arrondi de la mesure de l’angle Sɵ au dixième de degré.
● Je regarde si je peux utiliser la trigonométrie.
Le triangle RST est rectangle en R.
● Je remarque que l’hypoténuse et le côté opposé à Sɵ sont connus, donc je peux déterminer sin Sɵ .
TR
sin Sɵ =
TS
● Je remplace dans l’expression trouvée ce que je connais.
5
sin Sɵ =
7
● J’utilise une calculatrice puis je conclus.
Sɵ ≈ 45,6° (arrondi au dixième de degré)
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 9
La figure ci-contre est représentée à main levée.
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°1. Effectue ensuite la
série 2 de cette fiche.
174 – Cned, Mathématiques 3e
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Séquence 8
Séance 4
J’effectue des exercices
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 10
Dans la figure ci-contre, le triangle ABC est rectangle en B.
Problème : A quelle distance une personne située en A se
trouve-t-elle de la tour Eiffel ?
1- Essaie de résoudre le problème de façon graphique, soit en
construisant une figure à une autre échelle et en effectuant
des mesures, soit en utilisant un logiciel de géométrie
dynamique.
comme quotient de deux longueurs. Démontre ensuite que l’on a : AB =
2- Écris tan BAC
324
.
tan18°
3- Pour pouvoir calculer AB, il faut que nous connaissions tan 18°. Pour cela, nous allons établir un
lien entre le sinus, le cosinus, et la tangente, qui va te permettre de calculer tan 18° à l’aide d’une
calculatrice.
= sin A
a) Démontre que dans un triangle ABC rectangle en B, on a : tan A
cos A
sin A
.
Aide : Exprime sin A , puis cos A , puis calcule le quotient
cos A
b) Calcule AB à l’aide d’une
calculatrice. Donne l’arrondi au
centimètre.
Pour calculer tan 18°, tu
sin18°
. Tu peux aussi
calculeras
cos18°
utiliser la touche tan de la
calculatrice.
c) On peut également utiliser un
quart de cercle de rayon 1 dm pour
déterminer une valeur approchée de
tan 18°.
Démontre que :
KL OL
=
.
MI OI
Déduis-en : MI = tan 18°.
Mesure ensuite MI puis donne une
valeur approchée de AB.
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175
Séquence 8
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.
JE RETIENS
Propriété :
= sin A
Dans un triangle ABC rectangle en B, on a : tan A
cos A
Preuve :
BC
sin A
BC AC BC
=
= tan A
= AC =
×
AB
AC AB AB
cos A
AC
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.
JE COMPRENDS LA METHODE
Détermine l’arrondi au millimètre de TR
● Je regarde si je peux utiliser la trigonométrie.
Le triangle RST est rectangle en R.
● Je connais le côté adjacent à Sɵ et je cherche le côté opposé à Sɵ . Je pense donc à utiliser tan Sɵ .
TR
tan Sɵ =
RS
● Je remplace dans l’expression trouvée ce que je connais, puis je cherche à déterminer TR.
TR
tan 33° =
6
d’où : TR = 6 tan 33°
● J’utilise une calculatrice puis je conclus.
TR ≈ 3,9 cm (arrondi au millimètre)
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 11
On reprend les données de l’exercice 1.
On cherche l’angle Pɵ .
Écris tan Pɵ comme quotient de deux longueurs.
Pour calculer un angle dont on connaît la tangente, on peut
utiliser la touche tan–1 ou Atn de la calculatrice.
Déduis-en l’arrondi au centième de degré de Pɵ .
176 – Cned, Mathématiques 3e
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Séquence 8
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 12
La pente d’une route est par définition la tangente de l’angle qu’elle fait
avec l’horizontale. Ainsi, la pente de la route représentée ci-contre est
égale à tan x.
Lors d’un circuit en montagne, Clément monte en voiture une côte rectiligne longue de 210 m, dont la
pente est de 17 %.
Il aimerait trouver une valeur approchée à l’unité :
a) de l’angle en degrés que fait la route avec l’horizontale,
b) de la différence d’altitude en m entre le début et la fin de la route. Aide-le !
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 13
Le triangle RST est-il isocèle en S ?
R ∈ [VU]
T ∈ [VW]
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°2. Effectue ensuite la
série 2 de cette fiche.
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177
Séquence 8
Séance 5
Je cherche des valeurs exactes de sinus et de cosinus
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices et dans ton livret.
EXERCICE 14
1On cherche à remplir le tableau ci-contre.
Pour cela, tu peux utiliser le quart de cercle ci-dessous ou la
calculatrice.
Tu donneras des valeurs approchées au centième.
2- Tu vas essayer d’obtenir ces résultats également à l’aide
d’un tableur.
Pour cela, crée la feuille de calcul ci-contre à l’aide d’un
tableur.
Pour calculer le sinus de 30°, écris dans la cellule B2 la formule : « =SIN(RADIANS(B1)) ».
Pour calculer le cos de 30°, écris dans la cellule B3 la formule :
« =COS(RADIANS(B1)) ».
Fais faire tous les calculs du tableau par le tableur.
Contrôle que les résultats sont en accord avec ceux de la question précédente.
Remarque : dans la cellule B2, il n’est pas écrit « =SIN(B1) » car le tableur ne calcule par défaut que
les angles exprimés non pas en degrés, mais dans une unité appelée le « radian ».
On convertit donc en radians les mesures d’angles à l’aide de la fonction « RADIANS ».
178 – Cned, Mathématiques 3e
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Séquence 8
3- Tu vas essayer d’obtenir ces résultats également à l’aide de
Geogebra
Ouvre le fichier sequence8exercice14sinus à l’aide de Geogebra.
La fonction représentée est celle qui, à un angle en degrés,
associe son sinus. Déplace le point rouge.
Les résultats que tu trouves sont-ils en accord avec ceux trouvés
lors des questions précédentes ?
Fais de même avec les fichiers sequence8exercice14cosinus et sequence8exercice14tangente.
Dans la suite de cette séance, nous allons chercher à déterminer non pas des valeurs approchées,
mais les valeurs exactes des nombres du tableau. Pour cela, effectue l’exercice ci-dessous dans ton
cahier d’exercices.
EXERCICE 15
Une unité de longueur étant choisie, on considère le triangle ABC
équilatéral ci-contre de côté 1.
1- À l’aide de ce triangle, détermine :
a) cos 60°
b) sin 30°
2- Remplis les deux cases du tableau ci-dessous avec les valeurs trouvées dans les questions a et b.
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 16
Une unité de longueur étant choisie, on considère le triangle rectangle
isocèle en B ci-contre tel que : AB = 1.
BAC .
a) Détermine
b) Détermine AC.
c) Détermine les valeurs exactes de cos 45° et de sin 45°.
d) Détermine tan 45°.
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179
Séquence 8
e) Reporte dans le tableau les 5 valeurs exactes connues jusqu’à maintenant.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°3. Effectue ensuite la
série 2 de cette fiche.
180 – Cned, Mathématiques 3e
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Séquence 8
Séance 6
J’étudie une relation entre le sinus et le cosinus
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 17
Problème : x est la mesure en degrés d’un angle aigu d’un triangle rectangle.
Que peut-on dire du nombre : (sin x)2 + (cos x)2 ?
1Lis attentivement le problème ci-dessus puis essaie de le résoudre pendant 10 minutes. Pense à faire
des tests par exemple à l’aide d’une calculatrice, d’un tableur, d’un logiciel qui permet de représenter
graphiquement une fonction, et cherche à raisonner !
2Remplis le tableau ci-dessous. Tu peux utiliser une calculatrice ou un tableur.
x
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
(sin x)2 + (cos x)2
……
……
……
……
……
……
……
Émets une conjecture.
3- Tape dans la barre de menu du logiciel Geogebra : « sin(x)*sin(x) + cos(x)*cos(x) ».
Que remarques-tu ?
4a) Exprime sin x à l’aide des longueurs de deux côtés du triangle ABC.
Déduis-en (sin x)2.
b) Exprime cos x à l’aide des longueurs de deux côtés du triangle ABC.
Déduis-en (cos x)2.
c) Démontre que : (sin x)2 + (cos x)2 =1.
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181
Séquence 8
Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours.
JE RETIENS
Propriété :
Si x est la mesure d’un angle aigu en degrés, on a : (sin x)2 + (cos x)2 = 1.
Preuve :
BC
sin x =
AC
donc : (sin x)2 =
BC 2
AC 2
donc : (cos x)2 =
AB2
AC 2
cos x =
AB
AC
D’où :
(sin x)2 + (cos x)2 =
BC 2 AB2 BC 2 + AB2
+
=
AC 2 AC 2
AC 2
D’après la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, on a : BC2 + AB2 = AC2.
D’où : (sin x)2 + (cos x)2 =
AC 2
=1
AC 2
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 18
1
, détermine cos 30° puis déduis-en tan 30°.
2
1
b) Sachant que : cos 60° = , détermine sin 60° puis tan 60°.
2
a) Sachant que : sin 30° =
c) Complète intégralement le tableau ci-dessous.
d) Compare sin 30° et cos 60°, puis sin 60° et cos 30°.
Que peux-tu dire du sinus d’un angle et du cosinus du complémentaire de cet angle ?
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°4. Effectue ensuite la
série 2 de cette fiche.
182 – Cned, Mathématiques 3e
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Séquence 8
Séance 7
Je cherche à savoir si le sinus d’un angle peut-être égal à son cosinus
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 19
Lis attentivement le problème ci-dessous :
pour lesquelles : sin A
= cos A
.
Problème : Quelles sont toutes les mesures d’angles A
1- Connais-tu une mesure d’angle dont le sinus est égal au cosinus ?
Aide : si tu ne te souviens pas, relis attentivement le tableau de la séance précédente.
2- La question que nous nous posons à partir de maintenant est la suivante : y a-t-il d’autres mesures
d’angles (autres que celle trouvée dans le 1) dont le sinus est égal au cosinus.
Cherche d’autres mesures d’angles répondant au problème pendant 5 minutes. Passe ensuite à la
question suivante.
3- Nous cherchons d’autres valeurs dont le sinus est égal au cosinus. Pour cela, on peut calculer le
sinus et le cosinus de différentes mesures d’angles, puis regarder si les deux nombres obtenus sont
égaux.
Détermine, à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, une valeur approchée du sinus et du cosinus
d’autres mesures d’angles.
angle
0°
10°
20°
30°
40°
45°
50°
60°
70°
80°
90°
sinus
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
cosinus …..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
4a) Le tableau de la question précédente te permet-il de résoudre le problème ?
b) Dans le repère ci-dessous, nous allons représenter la fonction définie par :
x ֏ sin x , où x est une mesure d’angle en degrés.
Cette fonction est nommée « sin ».
Ainsi, par exemple, sin(10°) est l’image de
10° par la fonction sin.
On note plus simplement cette image
sin 10° au lieu de sin (10°).
Pour représenter graphiquement la fonction
sin dans le repère ci-contre, place les points
de coordonnées (0° ; sin 0°), (10° ; sin 10°),
…, (90° ; sin 90°), puis trace la
représentation graphique de la fonction.
c) Dans le repère ci-contre, nous allons
aussi représenter la fonction définie par :
x ֏ cos x , où x est une mesure d’angle en
degrés. Cette fonction est nommée « cos ».
Pour cela, place les points de coordonnées
(0° ; cos 0°), (10° ; cos 10°), …,
(90° ; cos 90°), puis trace la représentation
graphique de la fonction cos.
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183
Séquence 8
d) Utilise les représentations graphiques des deux fonctions pour répondre au problème.
e) On peut également représenter graphiquement ces deux
fonctions à l’aide du logiciel Geogebra.
Ouvre le fichier sequence8exercice19 à l’aide de Geogebra.
Confirme la réponse que tu as donnée à la question d.
f)
.
Exprime sin A
.
Exprime cos A
= cos A
, que peut-on en déduire concernant la nature du
Si on a : sin A
?
triangle ABC ? Concernant l’angle A
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°5.
Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.
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Séquence 8
Séance 8
Je trouve une meilleure méthode pour faire une construction
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 20
Problème :
Déterminer la valeur exacte en cm de la longueur
du segment [AH].
1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème, puis réponds aux questions suivantes.
2- Lorsqu’on n’arrive pas à trouver la valeur exacte cherchée, on peut commencer, même si ce n’est
pas ce qui est demandé, par chercher une valeur approchée du résultat.
● Construis la figure précédente en te servant des indications notées dessus. Mesure la longueur AH.
● A l’aide de la calculette, donne une valeur approchée de 5 . Que remarques-tu ?
● Si tu possèdes un ordinateur, construis la figure précédente à l’aide de Geogebra et fais mesurer la
longueur AH. Quelle question es-tu amené(e) à te poser.
3- Nous allons essayer dans cette partie de démontrer que : AH =
sont égaux.
et CAH
a) Démontre que les angles ABH
puis déduis-en :
et tan CAH
b) Calcule tan ABH
5 cm.
AH HC
=
.
HB AH
c) Conclus.
4- Inspire-toi de ce que tu viens de faire pour construire une figure permettant de tracer un segment
mesurant 7 cm. Construis cette figure.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°6.
Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.
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185
Séquence 8
Séance 9
J’effectue des exercices de synthèse
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 21
On considère la figure ci-contre.
H ∈ [BC]
arrondie au dixième.
1- Détermine la mesure en degrés de l’angle ABH
2- Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ?
3a) Détermine l’arrondi au dixième de la longueur HC en cm.
b) Détermine l’arrondi au dixième de la longueur HB en cm.
4- Détermine l’arrondi au dixième de l’aire du triangle ABC en cm2.
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 22
1- Trace un cercle de centre O et de diamètre [EF] tel que :
Place un point M sur ce cercle tel que : MF = 5 cm.
EF = 8 cm.
2- Calcule la valeur exacte de EM en cm.
en degrés.
3- Détermine l’arrondi au dixième de la mesure de l’angle MEF
en degrés.
4- Détermine l’arrondi au dixième de la mesure de l’angle MOF
et MEF
.
Essaie de comparer MOF
Quelle question es-tu amené(e) à te poser ? Saurais-tu y répondre.
Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche
directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux
corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.
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Séquence 8
JE M’ÉVALUE
1- Dans le triangle PIM rectangle en P, le sinus
est égal à :
de l’angle M
2- Dans le triangle RVF rectangle en F, la
est égale à :
tangente de l’angle V
MP
MI
PI
MI
RF
FV
RV
FV
MP
PI
PI
MP
RV
RF
RF
RV
3- L’arrondi au centième de l’angle en degrés
dont le sinus est 0,65 est :
0,01°
0,65°
40,54°
49,46°
4- L’arrondi au dixième de la tangente de 26°
est :
0,5
87,8
0,5°
87,8°
5-
6-
Parmi les quatre
longueurs en cm
ci-dessous, laquelle
est l’arrondi au
centième de NO
en cm ?
Parmi les quatre
longueurs en cm
ci-dessous, laquelle
est l’arrondi au
centième de TU
en cm ?
1,88 cm
3,53 cm
5,51 cm
1,63 cm
7,52 cm
2,13 cm
2,52 cm
3,58 cm
7-
8-
L’arrondi au dixième de
en degrés est :
l’angle C
L’arrondi au dixième de
en degrés est :
l’angle O
30,3°
59,7°
55,1°
51,5°
54,3°
53,4°
38,5°
31,9°
9- Si x est la mesure en degrés d’un angle aigu,
sin x est égal à :
tan x
cos x
tel que :
10- Existe-t-il un angle A
2
2
+ sin A
soit égal à 2 ?
cos A
(
) (
)
cos x
tan x
oui
tan x × cos x
non
tan x
2
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