Dérivées, les formules Dérivées des fonctions usuelles Opérations

Dérivées, les formules
Première S, cours
Dérivées des fonctions usuelles
Ens. définition
Fonctions
Fonctions dérivées
Ens. dérivabilité
R
x 7→ k où k ∈ R
x 7→ 0
R
R
x 7→ x
x 7→ 1
R
R
x 7→ xn , n ∈ N∗
x 7→ n.xn−1 , n ∈ N∗
R
] − ∞; 0[∪]0; +∞[
x 7→
−1
x2
−n
x 7→ n+1 , n ∈ N∗
x
1
x 7→ √
2 x
[0; +∞[
1
x
1
x 7→ n , n ∈ N∗
x
√
x 7→ x
R
x 7→ sin x, x est en radians
x 7→ cos x
R
R
x 7→ cos x, x est en radians
x 7→ − sin x
R
] − ∞; 0[∪]0; +∞[
x 7→
Sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[
Sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[
]0; +∞[
Opérations et dérivées
u et v sont deux fonctions dérivables sur I
(u + v)0 = u0 + v 0
Dérivée d’une somme
Dérivée du produit par une constante k
Dérivée du produit
Dérivée du carré de u
Dérivée de un
Dérivée de l’inverse
Dérivée du quotient
(ku)0 = ku0
(uv)0 = u0 v + uv 0
(u2 )0 = 2uu0
(un )0 = nun−1 .u0
0
1
−v 0
= 2
v
v
u 0 u 0 v − v 0 u
=
v
v2
R EMARQUE 1
• Un polynôme est dérivable sur R,
• Une fonction rationnelle est dérivable sur chacune des parties de son ensemble de définition.
Dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine
T HÉORÈME 1
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si g est la fonction définie par g(x) = f (ax + b), alors g
est dérivable en tout point x, tel que ax + b appartient à I et on a g 0 (x) = a × f 0 (ax + b).
Ens. définition
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Fonctions dérivées
a
x 7→ √
2 ax + b
Ens. dérivabilité
ax + b ≥ 0
Fonctions
√
x 7→ ax + b
R
x 7→ sin(ax + b)
x 7→ a cos(ax + b)
R
R
x 7→ cos(ax + b)
x 7→ −a sin(ax + b)
R
ax + b > 0
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