TS 2016 Cours 3 Ch4. ComplexesC 1. Nombres Complexes, Forme

TS 2016
Cours 3
Ch4. ComplexesC
1. Nombres Complexes, Forme Algébrique, Opérations :
(a) Retour aux Complexes, Forme Algébrique : i2 = −1
Un nombre complexe est de la forme z = a + ib, où a et b réels, a est la partie réelle, b la partie imaginaire de z.
On note a = Re(z) et b = Im(z).
C est l’ensemble des nombres complexes.
(b) Représentation des nombres complexes :
On oriente le plan orthonormé.
3
2
M
b
À chaque point M du plan correspond ses coordonnées (a; b),
×
1
ou bien encore un nombre complexe appelé affixe de M où zM = a + ib.
O
−1
−1
1
2
a3
(c) Module d’un nombre complexe :
Soit M un point du plan orienté muni d’un repère d’origine√O, d’affixe z = a + ib,
on appelle module de z, on note |z| la distance OM . |z| = a2 + b2
(d) Nombres Complexes et Opérations : z = 3 + 2i et z ′ = −4 + 3i,
Somme, Différence, Produit, Inverse, Quotient :
Conjugué : z = ...............
z ′ = ...............
z + z′ =
..............................................................
z − z′ =
..............................................................
−4 × z =
..............................................................
|z|2 = z × z, |z| = ..............., |z ′ | = ...............
z×z =
..............................................................
⋆ |z × z ′ | = |z| × |z ′ | = ...............
′
1
=
z′
..............................................................
1
z
=z× ′
z′
z
..............................................................
Propriétés du module et du conjugué :
Pour tout z et z ′ 6= 0 de C,
⋆
z
|z|
′ = ′ = ...............
z
|z |
|z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |
|z| = |z|
M d’affixe z et M ′ d’affixe z sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
(e) Applications :
.
.
.
.
Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z, tels que |z − 1| = 2,
Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z, tels que |z + 2| = |z|, (puis |z + 2| = |2z| ).
Montrer que pour tout z complexe, (3 − z)(−3 + z) est un réel pur.
Résoudre dans C les équations (E1) z 2 + z + 1 = 0, puis (E2) 3z 2 − 6z + 3 = 0 et enfin (E3) 4z 2 − 3z + 1 = 0
1/ 3
TS 2016
Cours 3
Ch4. ComplexesC
2. Nombres Complexes, Forme Trigonométrique :
(a) Retour aux Complexes, Forme Trigonométrique : i2 = −1
Un nombre complexe est de la forme z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)), où |z| est le module de z, θ est l’argument de z.
On note θ = arg (z).
(b) Représentation des nombres complexes :
2
On oriente le plan orthonormé.
×
|z|
1
M
arg(z)
À chaque point M du plan correspond ses coordonnées (a; b), son affixe zM = a+ib.
×
−2
ou bien encore ses coordonnées polaires (|z|, θ) où z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
O
−1
1
2
−1
−2
(c) Argument d’un nombre complexe : l’argument est donné, modulo 2π, à 2π près.
Propriétés de l’argument et du conjugué : Pour tout z et z ′ 6= 0 de C
⋆
arg(z × z ′ ) = arg(z) + arg(z ′ )
comme ex × ey = ex+y
arg(z n ) = narg(z) pour tout entier n
comme (ex ) = en×x
n
arg(z) = −arg(z)
arg
arg
z
1
z′
z′
= −arg(z ′ )
comme
1
= e−y
ey
= arg(z) − arg(z ′ )
comme
ex
= ex−y
ey
(d) Passage de la Forme Trigonométrique à la Forme Algébrique :
√
3
× 2
b
√
2
2
b
b
π
π
z = 3(cos( ) + i sin( ))
3
3
z=
√
3π
3π
2(cos( ) + i sin( ))
4
4
×
z = cos(
−5π
−5π
) + i sin(
)
3
3
b
= ....................
1
× 2
b
b
√
3
2
1
2
= ....................
×
b
√
5π
5π
z = 2 3(cos(− ) + i sin(− ))
6
6
b
b
= ....................
√×
2
2
b
= ....................
b
b
b
b
b
b
(e) Passage de la Forme Algébrique à la Forme Trigonométrique :
√
3 3
3
= ........................................
z = +i
2
2
√
√
5 2
5 2
z=−
−i
= ........................................
2
2
√
= ........................................
z = 3−i
2/ 3
×
b
TS 2016
Cours 3
Ch4. ComplexesC
3. Nombre Complexe, Forme Exponentielle :
(a) Présentation :
Nous avons remarqué que les propriétés de l’argument d’un nombre complexe sont semblables aux propriétés de l’exponentielle, elles mêmes semblables aux propriétés des puissances.
Rappelons ici que cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) et sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x).
Soit f la fonction définie sur R par f (θ) = cos(θ) + i sin(θ), Ainsi f (θ) est un complexe de module 1 et d’argument θ.
On obtient d’une part f (θ+θ′ ) = cos(θ+θ′ )+i sin(θ+θ′ ) = (cos(θ) cos(θ′ ) − sin(θ) sin(θ′ ))+i (sin(θ) cos(θ′ ) + sin(θ′ ) cos(θ))
et d’autre part,
f (θ) × f (θ′ ) = (cos(θ) + i sin(θ)) × (cos(θ′ ) + i sin(θ′ )) = (cos(θ) cos(θ′ ) − sin(θ) sin(θ′ )) + i (sin(θ) cos(θ′ ) + sin(θ′ ) cos(θ))
Ainsi, f (θ + θ′ ) = f (θ) × f (θ′ ) ce qui est la propriété de la fonction exponentielle dans R,
De Plus f (0) = cos(0) + i sin(0) = 1, il convient alors de noter f (θ) = cos(θ) + i sin(θ) = eiθ
(b) Définitions :
. Tout nombre complexe de module 1, d’argument θ peut s’écrire sous la forme cos(θ) + i sin(θ) = eiθ
. Tout nombre complexe z de module |z|, d’argument θ peut s’écrire |z|eiθ
(c) Représentation et Lectures graphiques :
Placer les points Mi d’affixes zi ,
z1 = ei 2 ,
z2 = eiπ ,
π
z4 = e2iπ et z5 = ei
z3 = ei
3π
2
2π
3
1
Donner les formes trigonométrique et algébrique des complexes zi
.
(d) Passer d’une forme à l’autre :
Pour obtenir la forme exponentielle d’un nombre complexe, il faut connaître son module et son argument,
Si z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)), Alors z = |z|eiθ et z = |z| cos(θ) +i |z| sin(θ) = a + ib
| {z } | {z }
a
b
Si z = |z|e , Alors z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)) et z = |z| cos(θ) +i |z| sin(θ) = a + ib
| {z } | {z }
iθ
a
b
√
Si z = a + ib, Alors |z| = a2 + b2 , déterminer θ = arg(z), Ainsi z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)) et z = |z|eiθ
Application : Donner les formes exponentielles de z1 = −2i et z2 = 1 + i
(e) Calculs avec la Forme Exponentielle : Pour tout θ et θ′ ,
′
1) eiθ × eiθ = eiθ+θ
2) eiθ
n
′
= einθ pour tout n ∈ Z
C’est beau :
eiπ + 1 = 0
3/ 3
3)
1
= e−iθ = eiθ
eiθ
4)
eiθ
i(θ−θ ′ )
′ = e
iθ
e
mais cela fait-il sens ?