Collège Elie COUTAREL Année 2008-2009. G.MANDALLAZ. Ecrit avec LATEX Division euclidienne et Division décimale 1 La division euclidienne Définition 1 Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b différent de 0, c’est trouver le quotient entier q et le reste r. Remarque 1 Ce qu’il est important de retenir de la définition, c’est que la division euclidienne n’utilise que des nombres entiers. Rappel de la technique opératoire avec a = 423 et b = 18. 423 63 9 18 23 l Dans 42, combien de fois 18 ? 2 × 18 = 36 3 × 18 = 54 Donc 2 fois et il reste 42 − 36 = 6. l On abaisse le chiffre suivant 3 et on recommence jusqu’à épuisement des chiffres. Vocabulaire : 423 est le dividende, 18 est le diviseur, 23 est le quotient et 9 est le reste. dividende = diviseur × quotient + reste (avec reste < diviseur) Dans le cas précédent, on a bien : 423 = 18 × 23 + 9 et 9 < 18. Définition 2 On dit que a est un multiple de b ou a est divisible par b lorsque le reste de la division de a par b est égal à 0. Exemple 1 36 est un multiple de 18. En effet, 36 = 18 × 2. La division de 36 par 18 donne un quotient q = 2 et un reste r = 0. 1 2 La division décimale Définition 3 Effectuer une division décimale d’un nombre a par un nombre b différent de 0, c’est calculer le quotient exact, ou une valeur approchée, de a par b. Exemple 2 F Effectuons le calcul : 42, 1 : 5 421 210 100 0 50 8,4 2 donc 42, 1 : 5 = 8, 42 ( quotient exact ). Dans ce calcul, on a déplacé la virgule du dividende et du diviseur afin de ne plus avoir de décimales, mais cela n’est pas obligatoire. F Effectuons le calcul : 100 : 3 100 10 10 1 3 3 3,3 donc 100 : 3 ≈ 33, 3 ( valeur approchée ). 3 Les critères de divisibilité Il existe quelques astuces pour savoir si un nombre en divise un autre, ce sont les critères de divisibilité. 3.1 Critère de divisibilité par 2 Propriété 1 Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair. Exemple 3 1 684 et 19 8746 358 sont divisibles par 2. 3.2 Critère de divisibilité par 5 Propriété 2 Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5. Exemple 4 9 865 et 17 040 sont divisibles par 5. 2 3.3 Critère de divisibilité par 10 Propriété 3 Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0. Exemple 5 17 040 est divisible par 10. 3.4 Critère de divisibilité par 3 Propriété 4 Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple 6 384 et 98 742 sont divisibles par 3 car 3+8+4=15 et 9+8+7+4+2=30 qui sont divisibles par 3. 3.5 Critère de divisibilité par 9 Propriété 5 Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple 7 1 674 et 111 457 117 sont divisibles par 9 car 1+6+7+4=18 et 1+1+1+4+5+7+1+1+6=27 qui sont divisibles par 9. 3.6 Critère de divisibilité par 11 Propriété 6 Un nombre entier est divisible par 1 lorsque la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11. Exemple 8 6 091 789 est divisible par 11 car 9-8+7-1+9-0+6=22 qui est divisible par 11. 3