la division

Chapitre 1. Division ( Rappel Sixième)
I.Division euclidienne.
Définition: une division euclidienne permet d'obtenir le quotient entier et le reste entier de deux nombres
entiers.
Présentation avec les soustractions posées
Présentation sans les soustractions posées
-
4 5 6
4 2
3 6
- 3 5
1
7
Dividende
diviseur
4 5 6
3 6
1
6 5
7
6 5
quotient
reste
456 = 7 × 65 + 1
6 2 1 4 6
5 6
6 1
- 5 6
5 4
- 4 8
6 6
- 6 4
2
62146 = 8 × 7768 + 2
8
-
7 7 6 8
6 2 1 4 6
6 1
5 4
6 6
2
8
7 7 6 8
Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur.
Dans la division euclidienne de 62146 par 8, tous les restes intermédiaires (6, 5, 6 et 2) sont bien tous
strictement inférieurs à 8.
Il y a autant de restes intermédiaires à gauche de la barre de division que de chiffres qui apparaissent au
quotient.
Dans la division de 456 par 7, il y a 2 restes intermédiaires: 3 et 1.
Il y a 2 chiffres au quotient: 6 et 5.
Dans la division de 62146 par 8, il y a 4 restes intermédiaires: 6, 5, 6 et 2.
Il y a 4 chiffres au quotient: 7, 7, 6 et 8.
II.Critères de divisibilité
1) Vocabulaire
Définition: les multiples d'un nombre entier sont les produits de ce nombre entier par un autre nombre entier.
exemple 1:
0, 11, 22, 33 sont des multiples de 11.
exemple 2:
De même 72 est un multiple de 8.
On dira aussi que 8 est un diviseur de 72.
On pourra dire également que 8 divise 72.
Les mots multiples et diviseur ne sont utilisés que pour les nombres entiers.
remarque 1:
21 est un multiple de 3.
Le reste de la division euclidienne de 21 par 3 est égal à 0.
21 est divisible par 3. 3 est un diviseur de 21.
2) Critères de divisibilité
On ne parle de critère de divisibilité que pour les nombres entiers
(i)
Critère de divisibilité par 2
Un nombre entier est divisible par 2 lorsqu'il est pair
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0; 2; 4; 6 ou 8.
(ii)
Critère de divisibilité par 4.
Un nombre entier est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres de son écriture sont:
00
04
08
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80
84
88
92
96
(iii)
Critère de divisibilité par 5
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
(iv)
Critère de divisibilité par 3
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est
divisible par 3.
(v)
Critère de divisibilité par 9
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est
divisible par 9.
III.Division décimale
Lorsque l'on veut trouver la valeur décimale exacte (si elle existe) ou une valeur approchée du quotient de deux
nombres décimaux, on peut effectuer une division décimale.
exemple 1:
6 2 1, 0 0
4
6 2 1, 0 0
4
- 4
2 2
2 2
1 5 5, 2 5
2 1
1 5 5, 2 5
- 2 0
1 0
2 1
2 0
- 2 0
0
1 0
8
2 0
- 2 0
0
Le dernier reste trouvé est 0.
Le quotient de 621 par 4 est donc 155,25. C'est une valeur exacte.
621 : 4 = 155,25
1 2 4, 0 0 0
3
1 2 4, 0 0 0
3
- 1 2
0 4
0 4
4 1, 3 3 3
1 0
4 1, 3 3 3
3
1 0
1 0
1 0
9
1
1 0
9
1 0
9
1
Ici, on ne parvient pas à trouver un reste égal à 0. 41,33 est donc une valeur approchée du quotient de 124 par 3.
124 : 3 % 41,33.
41,33 est une valeur approchée du quotient de 124 par 3.