Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l’académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d’Examens de l’enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté, adapté ou traduit sans autorisation. pr of es sio nn el Conventions relatives aux travaux topographiques Unités en vigueur : - distance en mètre (m) - angle en grades (gon) sd ' Ré Exa se m au en C sd an e op l'en é se ig ne m en t Formulaire d'aide à la résolution des problèmes de calcul topométrique Systèmes de coordonnées géographiques longitude λ, latitude f, Latitude f hauteur sur l’ellipsoïde h 2014 Systèmes de coordonnées planimétriques 11- Intersection droite - cercle 12- Nivellement indirect 13- Corrections des distances 14- Correction de niveau apparent 15- Moyenne arithmétique, moyenne pondérée 16- Relèvement sur 3 points méthode du barycentre17- Relèvement sur 3 points méthode de Delambre18- Changement de base 19- Le G0 (ou V0) - Coordonnées locales : x, y - Coordonnées Lambert 93 : e, n - Coordonnées RGF 93 CC (9 zones) : E, N Systèmes de coordonnées géocentriques Z X X, Y, Z O Y Systèmes de coordonnées altimétriques : altitude normale - NGF-IGN 69 (NGF-IGN78 pour la Corse) H Rayon de la terre : 6370 km Terminologie usitée : - ht ou hi = hauteur des tourillons ou hauteur de l’appareil - hp = hauteur de prisme = hv (voyant) ou hr (réflecteur) Ba s e N at io na le de sS uj et Sommaire 1 - Triangle quelconque 2 - Triangles semblables 3 - Triangle rectangle 4 - Trapèze 5 - Polygone de n côtés 6 - Raccordements circulaires 7 - Secteur circulaire 8 - Transformations de coordonnées 9 - Intersection de deux droites 10- Intersection de deux cercles Longitude λ Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 1 sur 12 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 2 sur 12 formules croquis - schémas Relation des sinus b c = = sin sin sin A Relation des cosinus 2 2 2 a = b + c - 2 b . c . cos A 3-Triangle rectangle formules sin B = côté opposé /hypoténuse = b/a B cos B = côté adjacent/hypoténuse = c/a a sd ' Ré Exa se m au en C sd an e op l'en é se ig ne m en t 1-Triangle quelconque pr of es sio nn el croquis - schémas tan B = côté opposé /côté adjacent = b/c c c 2 2 2 2 2 c = a + b - 2 a . b . cos C h m n B 2 b = a + c - 2 a . c . cos B b C a Superficie S = (a . b . sin C)/2 S = (a . c . sin B) /2 S = (b . c . sin A) /2 S= J 2 − . . − − Théorème de Thalès − A P Q B C sS A de D Somme des angles intérieurs Σ = (n – 2) . 200 Somme des angles extérieurs Σ = (n + 2) . 200 Superficie 2 le na F G E 2S =∑/0( /01 ./ . 2 /3( − 2 /4( at io 2S =∑/0( /01 2/ . . /3( − . /4( e N C Ba s B 2 ( &' + $% . sin ' 2 ( $& = &' + $% . sin & '% = K 5-Polygone de n cotés AM AN MN = = =k AC BC AB N Superficie 1 1 $% = &' − 2 ( . ) − + tan ' tan & S AMN = S ABC . k M 2 S1 = superficie MJKQ S1 M uj et 2-Triangles semblables . 2 S = ½ . ( b . c) N a . sin B. sin C 2. sin =√ C b 4-Trapèze avec p = ½ périmètre = √ . − . − tan A 2 BA + AC = BC Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 3 sur 12 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 4 sur 12 pr of es sio nn el croquis - schémas formules croquis - schémas 6-Raccordements circulaires y T2 GAB 2 Longueur de la corde T1T2 = 2.r.sin β r Longueur de l’arc = T1T2 = T1 5 tan = > = A 5 Longueur de la flèche MH = r – [r.cos ] 0 tan G‘ = (xB – xA)/ (yB – yA) yA .6.7.8 9:: O xA 5 7-Secteur circulaire ∆. ∆2 on obtient G’ avec son signe xB x si ∆x ≥0 et ∆y≥0→ GAB = G’ si ∆x ≥0 et ∆y≤0→ GAB = G’+ 200 si ∆x ≤0 et ∆y≤0→ GAB = G’+ 200 si ∆x ≤0 et ∆y≥0→ GAB = G’+ 400 Longueur du segment de la tangente ST1 = ST2 = r .tan 2 Gisement AB B yB sd ' Ré Exa se m au en C sd an e op l'en é se ig ne m en t H Superficie du disque = π.r 2 DAB = √ [(xB – xA) + (yB – yA) ] Périmètre du cercle= 2.π. r α M xB – xA = DAB .sin GAB yB – yA = DAB .cos GAB 8-Transformations de coordonnées S formules 9-Intersection de deux droites 2 T2 Secteur: S = β r 6.7 < .8 9:: 1ère méthode : GAB et DAB par (x,y) résolution du triangle AMB angle A = GAB– GAM angle B = GBM - GBA DAM et DBM M uj et Segment Triangle: S = ½ . r . sinβ GAM Calcul des (x,y) de M depuis A Contrôle : (x,y) de M depuis B sS Segment: S Secteur – S triangle T1 de 0 le Triangle A ème io na y O GBM B 2 méthode : (formule de Delambre) depuis A (xA – xB) – (yA – yB) . tan GBM yM – yA= -----------------------------tan GBM - tan GAM x N at xM – xA = (yM – yA) . tan GAM Ba s e Contrôle: idem depuis B Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 5 sur 12 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 6 sur 12 pr of es sio nn el croquis - schémas croquis - schémas formules Dh = √(Di² - Δhi²) 12-Nivellement indirect 10-Intersection de deux cercles formules Dénivelée instrumentale Δhi M calcul de GO1-O2 et DO1-02 par (x,y) Di V sd ' Ré Exa se m au en C sd an e op l'en é se ig ne m en t résolution du triangle O1O2M r2 Dh calcul de GO1-M puis xM et yM par rapport à O1 O1 O2 y Contrôle : calcul de GO2-M puis calcul de xM et yM par rapport à O2 x ht BG Calcul du module : F = BC d’apporter aux mesures de longueurs les 11-Intersection droite - cercle 2- M uj et Contrôle : Calcul des (x,y) de M1 depuis O d'un point central du canevas pour déterminer correction de pente - CpDh= Di.sin V 4- correction de réduction à l’ellipsoïde Co- ou Cellipsoïde BC. C @A = − D+C 5- correction de représentation plane H IJJKLMAKNI io at géographique du chantier, elle est obtenue sur = −PQQQ⋅⋅ CF D F + CF kr lu à l’aide du logiciel CIRCE On déduit un module m par lequel sont multipliées toutes les distances "terrain" préalablement réduites à l'horizontale. F = P+ cette correction varie en fonction de la situation idem pour le triangle AOM2 F/HF Coefficient d’altération linéaire : ou de projection - Cr ou Cl – na x correction atmosphérique - Ca- les coefficients kellipsoïde et kr, en m/km. le y de l’ellipsoïde (hm) et de la position planimétrique Coefficient de réduction à l’ellipsoïde sS de A tenant compte de la hauteur moyenne au dessus constructeur) terrain au moment des mesures) Calcul des (x,y) de M1 depuis A 0 On fixe pour une zone de travail un module m constante de prisme (donnée obtenue par lecture sur un abaque (saisie sur le 3- OM1 = r = rayon Calcul de l’angle A, angle M1, angle O Distance AM1 r M1 GAO et DAO par (x,y) résolution du triangle AOM1 M2 H IJJKLMAKNI + HG PQQQ Distance réduite à la projection « CIRCE ». N Drm = Dhm. m e Ba s O HP = HS + ht + Δhi - hp S 1- α Dh= Di . sin V 13- Corrections des distances corrections suivantes : GAM Δhi = Dh / tan V P Pour obtenir une distance, il conviendra O Δhi = Di . cos V hp Δhi r1 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 7 sur 12 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 8 sur 12 pr of es sio nn el croquis - schémas croquis - schémas formules formules 16-Relèvement sur 3 points: 14- Correction de niveau apparent B Pour des portées supérieures à 300m, il est On utilise généralement l’expression simplifiée systématiques : l’erreur due à la sphéricité de la suivante : terrestre et l’erreur due à la réfraction @RS = atmosphérique. A, B et C sont trois points connus α + β + γ = 400 gon et A + B + C = 200 gon sd ' Ré Exa se m au en C sd an e op l'en é se ig ne m en t nécessaire de prendre en compte deux erreurs S est inconnu et stationné méthode du barycentre Cette correction est à ajouter à la dénivelée. BCT PU, T c α γ W = a W = S Avec Cna en mètre, et Dh en km Ces erreurs de sphéricité et de réfraction sont généralement associées en une seule erreur A nommée erreur de niveau apparent. La correction globale est appelée correction de niveau apparent Cna. 15- Calcul d’une moyenne de plusieurs valeurs W = β b tan4( tan4( tan4( 1 − tan4( α 1 − tan4( β 1 − tan4( γ C ma. xA + mb. xB + mc. xC xS = -----------------------------------ma + mb + mc ma .yA + mb. yB + mc. yC yS = ----------------------------------ma + mb + mc 17-Relèvement sur 3 points: Moyenne arithmétique : méthode de Delambre valeur 1+ valeur 2 + ….. + valeur n Moyenne des valeurs = ----------------------------------------------n M est inconnu et stationné avec : n = nombre de valeurs prises en compte uj et GAM A A, B et C sont trois points connus α tan =[\ = sS Moyenne pondérée : de Σ Vi . pi Moyenne des valeurs = ---------------------Σ pi M _ a_ _ a_ ]^ ` bg4^ ` h g3 jb 4jh k cde∝ cde i l al l al ]^ ` bg4^ ` h g4 mb 4mh k cde∝ cde i GBM = GAM + α avec : V = valeur (longueur, angle, etc.) pi = poids attribué à la valeur i le GCM β na GBM m` 4mb 4 j` 4jb .nop qbr nop qbr 4nop q`r .\ = .[ + 2\ − 2[ . s t=[\ Ba s e N at io C B 2\ = 2[ + Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 9 sur 12 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 10 sur 12 pr of es sio nn el croquis - schémas croquis - schémas formules 19- le G0 (ou V0): 18- Changement de base : Le G0 (ou V0) d’une station est le gisement du zéro passer d’un système particulier (ou système local) N à un système général G0 du limbe de l’appareil : gisement de la droite 0 ,000 du limbe passant par le centre du limbe et la graduation Eléments connus : sd ' Ré Exa se m au en C sd an e op l'en é se ig ne m en t - Les coordonnées x et y des points A et B sont Lecture sur Ref1 300 ,000gon connues dans le système local C Gis St-Ref1 - Les coordonnées E et N des points o’ et A sont D N Ref 1 B x yB A yA Go’x Soit pour un cas général O’ avec EB EA Δx = xn – x(n-1) et Δy = yn – y(n-1) E Avec sur le schéma : Deux méthodes sont alors possibles: Ref3 0 du limbe système général : EON = système général visées sont sensiblement d’égales longueurs. Σ GoSt-Ref i Go moyen St = --------------n L3 GO'y = GAB - gAB En = E(n-1) + Δx . cos Go'y + Δy . sin Go'y xO’y = système local L2 St 200 Ref2 avec n = nb de visées L1 b - Go moyen par moyenne pondérée : si les visées Ref1 de sS Nn = N(n-1) + Δy . cos Go'y - Δx . sin Go'y xA et yA = coordonnées dans le système local na le EA et NA = coordonnées dans le système général GAB = gisement dans le système général sont d'inégales longueurs Moyenne arithmétique : La pondération est alors proportionnelle à la GoSt200-Ref1 + GoSt200-Ref2 + GoSt200-Ref3 Go St200 = ----------------------------------------------3 Remarque: plus une visée est longue plus son orientation angulaire longueur de chaque visée. est précise. Moyenne pondérée : Go moyen St = io gab = gisement dans le système local a - Go moyen par moyenne arithmétique : si les G0 Avec le gisement de l’axe O’y connu dans le uj et Eo’ des différents G0 obtenus. En = E(n-1) + Δx . sin Go'x – Δy . cos Go'x Nn = N(n-1) + Δx . cos Go'x + Δy . sin Go'x O visées. Il faut alors calculer un G0 moyen à partir NB = NA + Δx . cos Go'x + Δy . sin Go'x xA No’ A plusieurs références connues en coordonnées sont EB = EA + Δx . sin Go'x – Δy . cos Go'x xB Pour obtenir une précision satisfaisante de 100 ,000gon 200 ,000gon Eléments cherchés : y NA GO'x = GAB - gAB + 100 système général : G0station = Gis St-Ref1 – lecture sur Ref1 l'orientation de la station (et la contrôler!) Avec le gisement de l’axe O’x connu dans le E « zéro » de ce limbe. Le Go moyen connues dans le système général. NB formules avec : G0 St-i = différents G0 calculés depuis la station Li = longueur de chaque visée Ba s e N at (G0St-Ref1 . L1) + (G0St-Ref2 . L2) + (G0St-Ref3 . L3) Go moyen St200 = ----------------------------------------------------------L1 + L2 + L3 Σ ( G0 St-i . Li ) -----------------Σ Li Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 11 sur 12 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 12 sur 12