FONCTIONS SINUS ET COSINUS I – Rappels : le cercle trigonométrique Le plan est muni d'un repère othonormé direct (O,I,J). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens positif, appelé aussi sens trigonométrique. (Rappelons que la plupart des aiguilles de montre tournent dans le sens inverse du sens trigonométrique) A tout réel t, on peut associer un unique point M du cercle trigonométrique par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique. t est une mesure en radians de l'angle ̂ IOM . l'abscisse du point M est le cosinus du réel t, noté cos(t). l'ordonnée du point M est le sinus du réel t, noté sin(t). conséquences directes : pour tout réel t, -1 cos(t) 1 -1 sin(t) 1 cos²(t) + sin²(t) = 1 Remarque importante : à chaque réel est associé par enroulement un unique point du cercle trigonométrique, mais un même point est associé à une infinité de points de la droite des réels. II – Fonctions cosinus et sinus 1 – Définitions La fonction qui à tout réel x associe l'abscisse du point M défini ci-dessus est la fonction cosinus, notée cos. La fonction qui à tout réel x associe l'ordonnée du point M défini ci-dessus est la fonction sinus, notée sin. 2 – Propriétés a) Périodicité Pour tout réel x, cos(x+2)= cos(x) et sin(x+2)= sin(x), on dit que ces fonctions sont périodiques, de période 2. exemples : cos (2013× )=... 2 sin(2013× b) Parité Pour tout réel x, cos(-x)= cos(x) on dit que la fonction cosinus est paire. Pour tout réel x, sin(-x)=- sin(x) on dit que la fonction sinus est impaire. )=... 6 Conséquence : on peut limiter l'étude des variations et les courbes repésentatives des fonctions sinus et cosinus à l'intervalle [;], on obtiendra les courbes représentatives sur en utilisant la parité, puis sur IR en utilisant la périodicité. c) Variations sur [0 ; ]. De l'observation du cercle trigonométrique, on déduit les variations suivantes : et : d) Courbes représentatives sur [0 ; ] puis sur IR cosinus : sinus : 3 – Dérivabilité Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur IR et pour tout nombre réel x on a : cos'(x) = -sin(x) et sin'(x) = cos(x) conséquence : sin ( x ) =1 x x →a lim