Centres étrangers juin 2006 Exercice 1 4 points Partie A : restitution

Centres étrangers
juin 2006
Exercice 1 4 points
Partie A : restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :
 | z | = r
 z = r (cos θ + i sin θ)

⇔
 arg z = θ à 2 π près
 r > 0
 cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
(ii) Pour tous nombres réels a et b :  sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a .

Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations : | z1 z2 | = | z1 | | z2 | et arg( z1 ) + arg (z2 ) à 2 π près.
Partie B
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration
pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à
fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, −z désigne le conjugué de z et | z | désigne le
module de z.
1 1
1° Si z = – + i, alors z4 est un nombre réel.
2 2
2° Si z + −z = 0, alors z = 0.
1
3° Si z + = 0, alors z = i ou z = − i.
z
4° Si | z | = 1 et si | z + z' | = 1, alors z' = 0.
Partie A : restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :
|z|=r
 z = r (cos θ + i sin θ)

⇔
 arg z = θ à 2 π près
r>0
 cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
(ii) Pour tous nombres réels a et b : 
.
 sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations : | z1 z2 | = | z1 | | z2 | et arg( z1 ) + arg (z2 ) à 2 π près.
On note | z1 | = r1 et θ1 un argument de z1 et | z2 | = r2 et θ2 un argument de z2
z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) et z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)
On a : z1 × z2 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) × r2 (cos θ2 + i sin θ2)
= r1 r2 (cos θ1 cos θ2 + i cos θ1 sin θ2 + i sin θ1 cos θ2 + i2 sin θ1 sin θ2)
= r1 r2 (cos θ1 cos θ2 – sin θ1 sin θ2 + i (sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1)
= r1 r2 (cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2))
r1 r2 > 0 donc | z1 z2 | = r1 r2 et arg (z1 z2) = θ1 + θ2 = arg z1 + arg z2 à 2 π près.
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la
réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contreexemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si z est un nombre
1 1
complexe, z désigne le conjugué de z et | z | désigne le module de z. 1° Si z = – + i, alors z4 est un
2 2
nombre réel.
1
1
1
1
4
1
4
((– 1 + i)2)2 =
(1 – 2 i + i2)2 =
(– 2 i)2 = –
=–
4 (– 1 + i) =
2
16
16
16
16
4
π
π
Variante arg (z) = arg(– 1 + i) = – modulo 2 π et arg z4 = 4 × arg z = 4 × = π modulo 2 π
4
4
4
donc z ∈ IR–
z4 =
2° Si z + −z = 0, alors z = 0.
si z = i alors −z = – i et z + −z = 0. Pourtant z ≠ 0
1
3° Si z + = 0, alors z = i ou z = − i.
z
1
z2 + 1
Si z + = 0 alors
= 0 alors z2 + 1 = 0 alors z2 = – 1 alors z = i ou z = – i.
z
z
4° Si | z | = 1 et si | z + z' | = 1, alors z' = 0.
z = i et z ' = 1 –i. On a | z | = 1 et z + z ' = i + 1 – i = 1 et | z ' | = 1