Fonction ζ de Dedekind

NM557 Théorie des nombres
Année 2013-2014
Loïc Merel
Dominique Bernardi, Pierre Charollois
Feuille 2
Fonction ζ de Dedekind
Exercice 1 Soit n un entier. Pour tout nombre premier p, on note n0p le plus
grand diviseur de n qui n’est pas multiple de p, et fp l’ordre de p modulo n0p .
On note gp = ϕ(n0p )/fp . Montrer que la fonction ζKn du corps cyclotomique
Kn = Q e2iπ/n admet une écriture en produit eulérien
Y
ζKn (s) =
(1 − p−fp s )−gp
p premier
valable pour <(s) > 1.
Exercice 2 Soit d ∈ Z \ {0, 1} un entier sans facteur carré. On note
(
4d si d ≡ 2, 3 (mod 4)
D=
,
d
si d ≡ 1 (mod 4)
√
le discriminant
du
corps
Q(
d). Pour tout nombre premier p, on définit
D
χD (p) = p si p est impair et


0
χD (2) = 1


−1
si d ≡ 2, 3 (mod 4)
si d ≡ 1 (mod 8)
si d ≡ 5 (mod 8)
et on prolonge χD en une fonction complètement multiplicative sur Z>0 , puis
à Z en posant χD (−1) = 1 si d > 0 et −1 sinon. Montrer que le symbole de
Kronecker n 7→ χD (n) = Dn est un caractère primitif modulo |D|.
√
Montrer que la fonction ζQ(√d) du corps quadratique Q( d) admet une
écriture en produit eulérien analogue à celle de l’exercice précédent. Montrer
que
ζQ(√d) (s) = ζ(s)L(χD , s)
1
où la fonction L(χD , s) =
duit eulérien
P∞
n=1
χD (n)
ns
LD (s) = L(χD , s) =
admet elle-même une écriture en proY
(1 − χD (p)p−s )−1 .
p premier
√
√
Exercice 3 Soient K1 = Q( d1 ) et K2 = Q( d2 ) deux corps quadratiques
distincts. On pose L = K1 K2 leur compositum. Après avoir défini correctement d3 et Di pour 1 ≤ i ≤ 3, montrer que la fonction zêta du corps L peut
s’écrire
ζL = ζLD1 LD2 LD3
Exercice 4
a) Soit p un nombre premier. Pour 1 ≤ k ≤ p − 2, on définit χk par χk (n) =
e2ikπ/p . Montrer que la fonction ζKp du p-ième corps cyclotomique peut s’écrire
ζKp (s) = ζ(s)
p−2
Y
L(χk , s).
k=1
b) Plus généralement, soit n > 0 un entier naturel, et χ un caractère du groupe
(Z/nZ)∗ . On définit (comment ?) le conducteur f de χ et le caractère primitif
χ̃ modulo f associé à χ. la fonction ζKn du n-ième corps cyclotomique peut
s’écrire
Y
L(χ̃, s),
ζKn (s) =
χ
où χ parcourt l’ensemble des caractères modulo n.
Nombre de classes des corps quadratiques
Exercice 5 On reprend les notations de l’exercice 2, avec χ = χD .
Notons ω = e2iπ/|D| Pour tout a modulo |D|, on définit la somme de gauss
X
ga (χ) =
χ(k)ω ka
k mod |D|
et on note g(χ) = g1 (χ)
a) Montrer que ga (χ) = χ(a)g(χ) et que |g(χ)| =
2
p
|D|.
b) Montrer que
|D|
1 X
ga (χ) log(1 − ω −a )
L(1, χ) = −
|D| a=1


g(χ)  X
π X
πa
=−
+i
χ(a) log sin
χ(a)a .
|D|
|D|
D
1≤a≤|D|
1≤a≤|D|
P
c) On suppose maintenant d < 0. Posons S =
X
(2 − χ(2))S = |D|
0<a<|D|
aχ(a). Montrer que
χ(a)
0<a<|D/2|
et en déduire
X
wK
χ(a) ,
hK =
2(2 − χ(2)) 0<a<|D/2|
qui se simplifie en
X
1
hK =
χ(a)
(2 − χ(2)) 0<a<|D/2|
pour d < −3 (ou D < −4).
√
d) Calculer les nombres de classes de Q( d), pour d ∈ {−13, −19, −23, −35}
Exercice 6 Rappels sur les fractions continues. On définit deux suites de
polynômes par P−2 = 0, P−1 = 1, Q−2 = 1, Q−1 = 0, et pour n ≥ 0
∀n ≥ 0,
Pn = Xn Pn−1 + Pn−2 ,
Qn = Xn Qn−1 + Qn−2 .
Pour n ≥ 0, on note Fn = Pn /Qn = [X0 , . . . , Xn ].
a) Montrer que l’on a
1
F 4 = X0 +
.
1
X1 +
X2 +
1
X3 +
et Pn Qn+1 − Pn+1 Qn = (−1)n+1 .
3
1
X4
b) À tout réel θ on associe la suite de ses quotients complets θi et celle de
ses quotients incomplets ai (Cette suite est finie si et seulement si x ∈ Q) de
1
la façon suivante : θ0 = θ, ai = bθi c, θi+1 = θi −a
. Sauf a0 , les ai sont des
i
entiers naturels non nuls. On pose pn = Pn (a0 , . . . , an ), qn = Qn (a0 , . . . , an ).
La fraction (irréductible) pn /qn est la réduite d’ordre n de θ. On a
θ = Fn (a0 , . . . , an−1 , θn ).
Montrer que la suite des réduites est formée de deux suites adjacentes qui
tendent vers θ.
c) Si pn /qn et pn+1 /qn+1 sont deux réduites successives de θ, |p/q − θ| < 1/2q 2
pour p/q = pn /qn ou p/q = pn+1 /qn+1 . Réciproquement, si |p/q − θ| < 1/2q 2
p/q est une des réduites de θ.
d) Le développement en fraction continue de θ est périodique si et seulement
si θ est un nombre quadratique (réel). On dit qu’un nombre quadratique réel
θ est réduit si et seulement si θ > 1 et −1 < θ0 < 0, où θ0 est le conjugué de
θ. Montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de nombres réduits de discriminant
donné. Montrer que si θ est quadratique réel, ses quotients complets sont réduits à partir d’un certain rang. En déduire que le développement en fraction
continue de θ est périodique si et seulement si θ est un nombre quadratique
réel, et qu’il est purement périodique si et seulement si θ est réduit (Galois).
Exercice 7 Soit d > 0 un entier qui n’est
√ pas un carré. On considère le
développement en fraction continue de θ = d. Montrer qu’il est de la forme
[a0 , a1 , . . . , ar ], avec ar = 2a0 .
√
a) Montrer que si A = Pr−1 (a0 , . . . ar−1 ) et B = Qr−1 (a0 , . . . , ar−1 ), A + B d
est l’unité fondamentale de l’ordre de discriminant d, et que sa norme est
(−1)r .
b) On suppose de plus que d√6≡ 1 (mod 4) est sans facteur carré. Montrer que
le nombre de classes de Q( d) est (ici D = 4d) :
P
πa
0<a<D/2 χ(a) log sin D
√
.
log(A + B d)
√
c) Calculer les unités fondamentales des corps Q( d) pour d ∈ {2, 3, 7, 11, 15}
et les nombres de classes correspondants.
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