MM2 - Alg`ebre et analyse élémentaires - IMJ-PRG

MM2 - Algèbre et analyse élémentaires
Arithmétique
1. Résoudre dans (N∗ )2 l’équation
pgcd(x, y) + ppcm(x, y) = y + 9
2. Trouver tous les entiers naturels x et y tels que :
(
x + y = 420
pgcd(x, y) = 12
3. Trouver pgcd(275, 174), puis trouver u et v dans Z tels que
275u + 174v = pgcd(275, 174)
4. Trouver tous les entiers relatifs x et y tels que :
(a) 11 x - 29 y =1,
(b) 11 x - 29 y =3,
(c) 4 x - 6 y = 3.
5. (a) Soit a dans Z. Montrer que le reste de la division euclidienne de a2
par 8 est égal à 0, 1 ou 4.
(b) Soit n dans N. Montrer que si 8 divise n − 7, alors n ne peut pas être
la somme des carrés de trois nombres entiers.
(c) Résoudre x2 + y 2 + z 2 = x2 y 2 , d’inconnue (x, y, z) ∈ Z3 .
6. Soit a un entier naturel non nul distinct de 1 et m et n deux entiers
naturels non nuls.
(a) Monter que, pour tout entier naturel non nul k, an − 1 divise akn − 1.
(b) Montrer que le reste de la division euclidienne de am − 1 par an − 1
est ar − 1, o r est le reste de la division euclidienne de m par n.
(c) Montrer : pgcd(am − 1, an − 1) = apgcd(m,n) − 1.
7. Calculer pgcd(−300, 840) et ppcm(−300, 840).
8. Nombres de Fermat
(a) Montrer que si a et m sont des entiers naturels non nuls supérieurs
ou égaux à 2 et tels que am + 1 est premier alors a est pair et il existe
n ∈ N tel que m = 2n .
n
(b) Calculer les premiers nombres de Fermats Fn = 22 +1. Que constatet-on ?
9. Nombres de Mersenne
1
(a) Montrer que, si a et n sont deux entiers naturels non nuls et distincts
de 1 tels que an − 1 est premier, alors a = 2 et n est premier.
(b) Calculer les premiers nombres de Mersenne Mp = 2p −1. Que constatet-on ?
10. Soit N ∈ N tel que N ne soit pas le carré d’aucun entier. Montrer :
√
(a) N 6∈ Q.
√
(b) (1, N ) est Q-libre.
√ √
(c) (1, 2, 4 2) est Q-libre.
11. Trouver x dans N tel que x = 3 mod 5 et x = 4 mod 3.
12. Montrer que l’équation 6x2 + 5x + 1 = 0 n’a pas de solution dans Z, mais
que, pour tout n ∈ Z, elle en admet une modulo n, c’est-à-dire :
∀n ∈ Z, ∃x ∈ Z | 6x2 + 5x + 1 = 0
mod n.
13. Soit p un nombre premier. Montrer :
(ab = 0
mod p) ⇐⇒ (a = 0
mod p) ou (b = 0
mod p).
Que dire si p n’est plus premier ?
14. Soit n un entier. On dira qu’un entier relatif a est inversible modulo n s’il
existe b dans Z tel que ab = 1 mod n.
(a) Montrer que a est inversible modulo n si, et seulement si, a et n sont
premiers entre eux.
(b) Montrer que l’ensemble des entiers inversibles modulo n forme un
groupe pour la multiplication.
15. Soit p un nombre premier. Notons x la classe de x modulo p et posons
Z2p = {x2 | x ∈ Z} l’ensemble des ”carrés modulo p”.
(a) Décrire Z2p , pour p = 3, 5, 7, .. et calculer son cardinal.
(b) Soit x un entier relatif non nul. Quel est le cardinal de l’ensemble
{y | y 2 = x2 } ? En déduire le cardinal de Z2p \ {0} puis celui de Z2p .
(c) Montrer que l’équation ax2 + by 2 + c = 0 a au moins une solution
(x, y) modulo p.
16. Montrer que l’équation x2 − 5y 2 = 3 n’a pas de solution dans Z2 .
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