Série 6

Introduction à la théorie des nombres
Prof. E. Bayer Flückiger
Bachelor Semestre 6
24.3.2014
Série 6
∼
Exercice 1. Montrez qu’il y a un isomorphisme de Q–algèbres −2,−3
. Puis
= −1,−1
Q
Q
−1,−1
−2,−5
et
.
montrez qu’il n’y a pas d’isomorphisme de Q–algèbres entre
Q
Q
Exercice 2. Soit Fq un corps fini avec q éléments, soient f1 , . . . , fm ∈ Fq [X1 , . . . , Xn ] des
polynômes satisfaisant
m
X
deg fi < n
i=1
et notons S ⊆
Fnq
l’ensemble des zéros communs de f1 , . . . , fm .
(1) Soient e1 , . . . , en des entiers positifs ou nuls avec e1 + · · · + en < n(q − 1) et posons
f (X1 , . . . , Xn ) = X1e1 · · · Xnen . Montrer :
X
f (x) = 0
x∈Fn
q−1
(2) Posons f := (1 − f1q−1 )(1 − f2q−1 ) · · · (1 − fm
). Montrer que pour tout x ∈ Fnq on a
f (x) = 1 si x ∈ S et f (x) = 0 autrement.
(3) Déduire de (1) et (2) que #S ≡ 0 mod p, où p est la caractéristique de Fq .
(4) Montrer que toute forme quadratique en ≥ 3 variables sur un corps fini est isotrope.
Exercice 3. Soit k un corps. Définissons pour a, b ∈ k ∗ le symbole de Hilbert [a, b] par

+1 si aX 2 + bY 2 − Z 2 est une forme quadratique isotrope
[a, b] =
−1 sinon.
Vérifier les propriétés suivantes de ce symbole (pour a, b, c des éléments de k ∗ , en supposant
que a 6= 1 si a − 1 apparaı̂t dans une formule):
(1)
(2)
(3)
(4)
[a, b] = [b, a] et [a, c2 ] = 1.
[a, −a] = 1 et [a, 1 − a] = 1.
Si [a, b] = 1, alors [ca, b] = [c, b].
[a, b] = [a, −ab] et [a, b] = [a, (1 − a)b].
Remarque. En étudiant certaines équations différentielles et intégrales, le mathématicien
allemand David Hilbert (1862–1943) fut amené à introduire des espaces quadratiques de
dimension infinie. On les connait aujourd’hui sous le nom d’espaces de Hilbert.
Pour le dernier exercice nous allons utiliser le résultat suivant, du à Legendre. Sa preuve
est tout à fait accessible, mais peu instructive et trop longue pour la faire en exercice.
Théorème. Soient a, b et c des entiers non nuls, tels que abc soit sans facteur carré, et
posons q(X, Y, Z) = aX 2 + bY 2 + cZ 2 . La forme quadratique q est isotrope si et seulement
si les deux conditions suivantes sont satisfaites:
(1) Les entiers a, b et c n’ont pas tous le même signe, et
(2) −bc est un carré modulo |a|, −ac un carré modulo |b| et −ab un carré modulo |c|.
C’est un résultat remarquable : les conditions (1) et (2) sont faciles à vérifier, ils ne font
intervenir que les signes de a, b, c, et l’arithmétique modulo |a|, |b| et |c| (c.f. exercice 4.2 de
la série 3). D’autre part, on a une affirmation sur l’existence d’une solution nontriviale d’une
équation Diophantienne aX 2 + bY 2 + cZ 2 = 0, qui en règle générale sont très difficiles à
vérifier. Le théorème est un précurseur de ce qu’on appelle aujourd’hui le principe de Hasse.
C’est un sujet de recherche actif.
Exercice 4. Parmi les équations,
5X 2 − 2Y 2 − 3Z 2 = 0
22X 2 − 2323Y 2 + 33Z 2 = 0
quelles sont celles qui ont une solution nontriviale dans Q3 ?