Sommes de Gauss sur un anneau fini Contexte et notations

File:RingGaussSum.tex
compil. le 10 février 2017,11:45
Sommes de Gauss sur un anneau fini
Références : notes de P.N. (5 Mai 1993). Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms,
exercice 9 de la section 2 du chapitre II, page 62 (l’exercice est partiellement corrigé).
Ribenboim, Classical Theory of Algebraic Numbers, en particulier (mais beurk) section 26.1, The Quadratic Character Attached to the Quadratic Field.
Frölich & Taylor, Algebraic Number Theory. En particulier, chap. VI (Cyclotomic Fields), §3 (Quadratic
fields revisited).
Loïc Mérel, Nombres Algébriques et Nombres p-adiques (cours préparatoires aux études doctorale 200304), TAN.pdf
W. Stein, Modular Forms, a Computational Approach, chap. 4, Dirichlet Characters
Contexte et notations
• On note (U, ×) le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.
Ici R est un anneau commutatif fini ; il faut par exemple penser à R = Z/N Z et/ou à un corps fini.
J’attaque bille en tête, de manière pas très pédagogique, par un lemme. Lemme que je trouve rassurant
en ce qui concerne les histoires de caractères (multiplicatifs) primitifs.
Lemme 1.
Pour tout idéal I de R, le morphisme entre groupes multiplicatifs :
R× → (R/I)×
est surjectif de noyau R× ∩ (1 + I). En conséquence, on dispose d’un isomorphisme canonique :
can.
(R/I)× '
R×
R×
∩ (1 + I)
Preuve.
I Montrons le d’abord pour R = Z/N Z. Soit N 0 un diviseur de N , ce qui permet de considérer
(Z/N Z)× → (Z/N 0 Z)× . Considérons k 0 ∈ Z inversible modulo N 0 que l’on doit relever en un inversible modulo N . On pose (Landau’s trick)
Y
k = k 0 + aN 0 avec a =
p
p|N
p6 |k0
Alors k ≡ k 0 mod N 0 . Montrons que k est inversible modulo N en montrant qu’un diviseur premier p
de N ne divise pas k via :
p 6 | k 0 =⇒ p | aN 0
p | k 0 =⇒ p 6 | aN 0
donc, dans tous les cas, p 6 | k = k 0 + aN 0
En effet, dans le cas p 6 | k 0 , on a p | a, a fortiori p | aN 0 . Dans le second cas p | k 0 , on a (par définition
de a) p 6 | a et comme p 6 | N 0 (k 0 , N 0 sont premiers entre eux), on obtient p 6 | aN 0 .
Variante : on pourrait le montrer pour D puissance d’un premier (c’est alors facile car Z/DZ est un
anneau local) puis vérifier que si c’est vérifié pour D1 , D2 premiers entre eux, alors c’est vrai pour le
produit D1 D2 .
I Montrons le pour un anneau semi-local i.e. ayant un nombre fini d’idéaux maximaux (cela s’applique
donc à un anneau fini). Soient m1 , . . . , mk les idéaux maximaux tels que I 6⊂ mj (k = 0 si I = R !).
Je dis qu’il n’existe pas d’idéal maximal m tel que I + m1 · · · mk ⊂ m car cela entraînerait I ⊂ m et
l’existence d’un j tel que mj ⊂ m puis mj = m, conduisant à I ⊂ mj , un tantinet contradictoire. Bref
I + m1 · · · mk = R. Soit maintenant x ∈ R inversible modulo I ; alors, par le théorème chinois, il existe y
tel que :
(
x mod I
y≡
1 mod m1 · · · mk
1
Alors y ≡ x mod I (ça, c’est sûr) et y est inversible. En effet, imaginons l’existence d’un idéal maximal m
avec y ∈ m. Si I ⊂ m, alors x ∈ m, et donc dans le quotient R/I, on a x ∈ m/I, non tenable car x est
inversible dans R/I. Si I 6⊂ m, alors m est l’un des mj et donc y − 1 ∈ m1 · · · mk ⊂ mj conduisant à
1 ∈ mj .
Quelle horreur.
I Vrai aussi pour un anneau résiduellement zéro-dimensionnel i.e. le quotient par son idéal de Jacobson
est un anneau zéro-dimensionnel (réduit). Et même pour un anneau local-global.
• Un caractère additif ψ sur R est un morphisme de (R, +) dans (U, ×) :
ψ(x + y) = ψ(x)ψ(y)
En fait, comme l’anneau est fini, les caractères sont à valeurs dans le sous-groupe U∞ constitué des racines
n-ièmes de l’unité pour n variable.
Exemple : si R = Z/N Z, on obtient un caractère additif en prenant une racine primitive N -ème de l’unité
et en définissant ψ via :
(?)
m
ψ : m mod N 7−→ ζN
Si ψ est un caractère additif, on note, pour a ∈ R, ψa le caractère additif obtenu par
ψa (x) = ψ(ax)
• Un caractère additif ψ : R → U est dit primitif s’il ne transite pas par un caractère additif de R/I
pour un idéal I non nul :
R
ψ
'
R/I
8U
ψ0
Ceci revient à dire que ψ(I) = 1 entraîne I = {0}. En effet, la condition ψ(I) = 1 permet de faire passer
ψ au quotient modulo I et de définir ψ 0 .
Le fait que ψ soit primitif est aussi équivalent au fait de dire que ψ(aR) = 1 entraîne a = 0. Ce qui est
équivalent à dire que si ψa est le caractère trivial, alors a = 0.
ax
= 1 pour tout x ∈ Z ;
Exemple : le caractère (?) est primitif. Supposons en effet, pour un a ∈ Z que ζN
alors c’est vrai pour x = 1 et donc N | a car ζN est d’ordre N . En conséquence a = 0 dans Z/N Z.
• Un caractère multiplicatif χ sur R est un morphisme multiplicatif χ : R× → U :
χ(xy) = χ(x)χ(y)
On le prolonge à R tout entier en posant χ(x) = 0 pour x ∈ R \ R× . Attention cependant au caractère
trivial ε (celui qui vaut 1 sur R× ) qui ne suit pas ce régime : son prolongement est 1 partout.
• Exemple de caractère multiplicatif : le power residue symbol (Ireland & Rosen, chap. 14, The Stickelber√
ger Relation and The Eisenstein Reciprocity Law, §2, p. 203). Considérons l’anneau cyclotomique Z[ n 1]
et un idéal premier p avec n ∈
/ p i.e. si pZ = p ∩ Z, tel que p 6 | n. Alors :
√
√
n
n
Z[ 1]/p = Fp [ 1] = Fp (ζn ) = Fq
avec
dimFp Fq = ordre de p dans (Z/nZ)×
Puisque ζn est d’ordre n dans F∗q , on a n | q − 1 et on dispose d’un isomorphisme canonique :
√
'
n
Un 7−→ Un Z[ 1]/p
√
√
q−1
Ainsi, pour x ∈ Z[ n 1] \ p, on peut considérer x n , qui appartient à Un Z[ n 1]/p et que l’on peut
remonter en une vraie racine n-ième de Un . On obtient ainsi un caactère multiplicatif d’ordre n que l’on
prolonge à 0 :
√
x
n
Z[ 1]/p 3 x 7−→
∈ Un ∪ {0}
p n
2
• Un caractère multiplicatif χ : R → U est dit primitif s’il ne transite pas par un caractère multiplicatif
de R/I pour un idéal I non nul :
R×
χ
(
(R/I)×
7U
χ0
Ceci revient à dire que χ R× ∩ (1 + I) = 1 entraîne I = {0}. En effet, la condition χ R× ∩ (1 + I) = 1
dit que χ passe au quotient “modulo I” pour former un caractère χ0 sur (R/I)× , ce qui fait que I est bien
nul.
En conséquence, dire que χ est primitif signifie que pour tout idéal non nul I, il existe
x0 ∈ R × ,
x0 ≡ 1 mod I,
χ(x0 ) 6= 1
x0 ≡ 1 mod a,
χ(x0 ) 6= 1
Ou encore, pour tout a 6= 0, il existe
x0 ∈ R × ,
Ainsi un caractère multiplicatif χ : (Z/N Z)× → U est primitif si pour tout diviseur strict N 0 de N , il
existe x0 ∈ Z, inversible modulo N , tel que x0 ≡ 1 mod N 0 et χ(x0 ) 6= 1.
Le calcul de Gψ (χ)Gψ (χ)
Théorème 1.
Soient ψ, χ deux caractères sur R, ψ étant additif, χ étant multiplicatif, les deux primitifs. On définit
la somme de Gauss :
X
Gψ (χ) =
ψ(x)χ(x)
x∈R
Alors :
Gψ (χ)Gψ (χ) = χ(−1) × #R
Quelques lemmes techniques
Lemme 2.
Soit ψ un caractère additif non trivial. Alors :
X
ψ(x) = 0
x∈R
Preuve.
Soit x0 ∈ R tel que ψ(x0 ) 6= 1. Comme x 7→ x0 + x est une bijection de R sur lui-même
X
X
X
X
ψ(x) =
ψ(x0 + x) = ψ(x0 )
ψ(x)
i.e.
1 − ψ(x0 )
ψ(x) = 0
x∈R
x∈R
x∈R
x∈R
D’où la chute puisque ψ(x0 ) 6= 1.
Lemme 3.
Soit χ un caractère multiplicatif primitif. Alors pour tout idéal non nul I et pour tout a ∈ R :
X
χ(x) = 0
x≡a mod I
Preuve.
Soit x0 ∈ R× tel que x0 ≡ 1 mod I et χ(x0 ) 6= 1, dont l’existence est assurée par le fait que χ est primitif
et I non nul.
La multiplication par x0 induit une bijection de a+I sur lui-même, ceci étant dû au fait que x0 ≡ 1 mod I.
On peut donc écrire :
X
X
X
χ(x) =
χ(x0 x) = χ(x0 )
χ(x)
x≡a mod I
x≡a mod I
x≡a mod I
3
c’est-à-dire :
X
1 − χ(x0 )
χ(x) = 0
x≡a mod I
Et donc la somme est bien nulle puisque χ(x0 ) 6= 1.
Remarque : il est fondamental de supposer I non nul. Car lorsque I = {0}, la somme se réduit à χ(a), et
il n’est pas raisonnable d’obtenir χ(a) = 0 (pour tout a).
Lemme 4. Soit χ un caractère multiplicatif primitif. Alors pour tout caractère additif ψ et tout élément
b non inversible, on a :
X
χ(x)ψ(bx) = 0
x∈R
Preuve. Introduisons l’idéal
I = {x ∈ R | bx = 0}
Cet idéal n’est pas réduit à 0 ; en effet, si c’était le cas, b serait régulier, donc, puisque l’anneau est fini,
inversible, ce qui n’est pas le cas.
On va pouvoir appliquer le lemme précédent en sommant sur chaque classe modulo I i.e. on va montrer
que chaque sous-somme est nulle :
X
Sa :=
χ(x)ψ(bx)
x≡a mod I
Pour x ≡ a mod I, on a x − a ∈ I donc, par définition de I, b(x − a) = 0 i.e. bx = ba. Si bien la somme
Sa vaut :
X
X
Sa =
χ(x)ψ(ba) = ψ(ba)
χ(x)
x≡a mod I
x≡a mod I
Et la somme de droite est nulle d’après le lemme précédent.
Preuve du théorème (1).
Notons S = Gψ (χ)Gψ (χ) qui par définition vaut :
X
S=
ψ(x)χ(x)ψ(y)χ(y) =
X
ψ(x)ψ(y)χ(xy −1 )
x∈R,y∈R×
x,y∈R
En posant u = xy −1 , on a x = uy si bien que :
X
X
X
S=
ψ(uy)ψ(y)χ(u) =
ψ(y)
ψ(uy)χ(u)
u∈R,y∈R×
y∈R×
u∈R
P
Et c’est maintenant là la clef : si y est non inversible, la somme
u∈R ψ(uy)χ(u) est nulle (lemme
précédent appliqué à b ↔ y). Si bien que l’on peut sommer sur R tout entier puis permuter sommations
en u et en y :
X
X
X
X
X
X
def
S=
ψ(y)
ψ(uy)χ(u) =
χ(u)
ψ((1 + u)y) =
χ(u)
ψ1+u (y)
y∈R
u∈R
u∈R
y∈R
u∈R
y∈R
Si 1 + u 6= 0, alors, comme ψ estP
primitif, le caractère additif ψ1+u n’est pas trivial et par conséquent
(premier lemme de cette section) y∈R ψ1+u (y) = 0.
Il reste donc :
X
S=
χ(−1) × 1 = χ(−1) × #R
u∈R
OUF.
4
Le caractère associé à un anneau quadratique (symbole de Kronecker)
Le coup de p∗ = (−1)
p−1
2
pour un premier impair p, de la somme de Gauss
X
X
τp∗ = τ0 − τ1 ,
τ0 =
ζpi ,
τ1 =
ζpi
i∈F∗2
p
et l’inclusion :
√
√
p
Q( p∗ ) ⊂ Q( 1)
∗2
i∈F∗
p \Fp
τp2∗ = p∗
certifiée par
Et son bonus arithmétique via l’écriture τ = τ0 − τ1 . Puisque τ0 + τ1 = −1, on a :
4τ0 τ1 = (τ0 + τ1 )2 − (τ0 − τ1 )2 = 1 − p∗
On en déduit que τ0 , τ1 sont les racines de
X2 − X +
Et par suite
1 − p∗
4
de discriminant p∗
√
√
anneau des entiers de Q( p∗ ) = Z[τ1 ] = Z[τ1 ] ⊂ Z[ p 1]
Les 3 discriminants exceptionnels −4, 8, −8
−4 = Disc(Z[i]),
√
8 = Disc(Z[ 2]),
√
−8 = Disc(Z[ −2])
liés aux inclusions cyclotomiques :
√
4
Z[i] = Z[ 1],
√
√
8
Z[ 2] ⊂ Z[ 1],
√
√
8
Z[ −2] ⊂ Z[ 1]
ω2 = i
ω 3 = iω
ω
On a les relations immédiates à établir :
√
ω=
ω 4 = −1
2
2
ω 2 = i,
ω 5 = −ω
√
+i
2
2 ,
√
iω = −
2
2
√
+i
2
2 ,
ω 4 = −1
ω 7 = −iω
ω 6 = −i
Décomposition d’un discriminant quadratique fondamental en discriminants quadratiques
fondamentaux primaires
Un discriminant quadratique ∆ est le discriminant d’un anneau quadratique Z[θ] où θ ∈
/ Z est racine
d’un trinôme du second degré à coefficients entiers
X 2 − SX + P ∈ Z[X],
S 2 − 4P = ∆
Les anneaux quadratiques sont classifiés par leur discriminant. Celui doit vérifier :
∆ ≡ 0, 1 mod 4,
∆ n’est pas un carré dans Z
On peut par exemple prendre pour représenter l’anneau quadratique de discriminant ∆ :
√
±∆ ± ∆
∆2 − ∆
θ=
de polynôme minimal
X 2 ± ∆X +
2
4
Cet anneau a pour description :
(
√
x+y ∆
,
2
)
x, y ∈ Z | x ≡ y∆ mod 2
5
Un discriminant quadratique fondamental est le discriminant de l’anneau des entiers d’un corps quadratique. Il est noté D dans la suite. Il est caractérisé par la propriété arithmétique suivante :
(
soit D ≡ 8, 12 mod 16 et D/4 est sans facteur carré
soit D ≡ 1 mod 4 et D est sans facteur carré
Ecrire un discriminant quadratique fondamental D sous la forme d’un produit de discriminants quadratiques fondamentaux primaires, premiers entre eux deux à deux :
D = D1 · · · Dk ,
(?)
Di ∈ {p∗ , −4, 8, −8}
Unicité.
Les fonctions qui font le job (in DiscriminantsQuadratiquesFondamentaux.magma)
Z := IntegerRing()
Values := {-1,0,1}
Chi8 := map < Z ->
ChiMinus4 := map <
ChiMinus8 := map <
Epsilon := map < Z
;
;
Values | m :-> IsOdd(m) select (-1)^ExactQuotient(m^2-1,8) else 0 > ;
Z -> Values | m :-> IsOdd(m) select (-1)^ExactQuotient(m-1,2) else 0 > ;
Z -> Values | m :-> Chi8(m)*ChiMinus4(m) > ;
-> Values | m :-> 1 > ;
// Le reste modulo p va fournir 0,1,p-1. A transformer en 0,1,-1
CenteredRemainder := func < x | x in {0,1} select x else -1 > ;
MetaChi := map < Z -> Maps(Z, Values) | p :->
map <Z -> Values | m :-> CenteredRemainder(Modexp(m, ExactQuotient(p-1,2), p)) > > ;
PrimaryDiscrimantalDecomposition := function(D)
assert IsFundamentalDiscriminant(D) ;
AbsD := Abs(D) ;
Dodd := ExactQuotient(AbsD, 2^Valuation(AbsD,2)) ;
OddPrimes := [Z| item[1] : item in Factorisation(Dodd)] ;
assert Dodd eq &*OddPrimes ;
Pstar := [Z| (-1)^ExactQuotient(p-1,2) * p : p in OddPrimes] ;
D0 := ExactQuotient(D, &*Pstar) ;
assert D0 in {1, -4, 8, -8} ;
return D0, Pstar ;
end function ;
MyKroneckerCharacter := function(D)
D0, Pstar := PrimaryDiscrimantalDecomposition(D) ;
ChiD0 := D0 eq 1 select Epsilon
else D0 eq -4 select ChiMinus4
else D0 eq 8 select Chi8
else ChiMinus8 ;
return map < Z -> Values | m :-> ChiD0(m) * &*[Z| MetaChi(Abs(p))(m)
end function ;
: p in Pstar] > ;
borne := 10^4 ;
SomeFundamentalDiscriminants := [D : D in [-borne .. borne] | IsFundamentalDiscriminant(D)] ;
SFD := SomeFundamentalDiscriminants ;
Le fondement de χD pour un discriminant quadratique fondamental D
Théorème 2. Soit D un discriminant quadratique fondamental.
(1) On a l’inclusion :
√
√
|D|
Q( D) ⊂ Q(
1)
(2) Cette inclusion fait naître un caractère quadratique, dit symbole de Kronecker :
χD : (Z/DZ)× → {±1}
de la manière suivante :
√
√
σm ( D) = χD (m) D
m∧D =1
√
Ici σm désigne, pour m ∧ D = 1, l’automorphisme de Gal(Q( |D| 1)/Q qui élève chaque racine de l’unité
de U|D| à la puissance m.
(3) Le symbole de Kronecker est relié au symbole de Legendre par le fait que pour tout nombre premier
impair p ≥ 3 :
D
χD (p) =
p
(4) On a pour m impair
χ−4 (m) = (−1)
m−1
4
,
χ8 (m) = (−1)
m2 −1
8
,
6
χ−8 (m) = −χ8 (m + 2) = χ−4 (m)χ8 (m)
Preuve.
A FAIRE
Moyen de calcul avec D décomposé sous la forme (?) :
χD (m) = χD1 (m) · · · χDk (m)
Mieux : pour deux discriminants quadratiques fondamentaux D1 , D2 premiers entre eux, alors D = D1 D2
est un discriminant quadratique fondamental et
χD (m) = χD1 (m)χD2 (m)
Lemme 5.
Soit D un discriminant quadratique fondamental et χD le symbole de Kronecker associé (c’est un caractère
multiplicatif sur (Z/DZ)× ).
(1) C’est √
un caractère
√ primitif.
(2) Si Q( D) ⊂ Q( e 1), alors |D| divise e.
Preuve.
I Montrons le côté primitif d’abord pour un dicriminant fondamental primaire.
A FAIRE.
I Utilisons ensuite « l’assemblage » qui vient. Considérons deux discriminants quadratiques fondamentaux D1 , D2 premiers entre eux, de sorte que D = D1 D2 est un discriminant quadratique fondamental ;
supposons que χD1 et χD2 sont primitifs, et montrons qu’il en est de même de χD .
Soit D0 un diviseur strict de D. On a D0 = D10 D20 avec Di0 = gcd(Di , D0 ). On a par exemple que D10 est
un diviseur strict de D1 . Puisque χD1 est primitif, il existe m1 ∈ Z vérifiant :
m1 ≡ 1 mod D10 ,
m1 ∧ D1 = 1,
Choisissons m vérifiant :
(
m≡
m1
1
χD1 (m1 ) = −1
modD1
modD2
Alors :
m ∧ D = 1,
m ≡ 1 mod D0 ,
χD (m) = χD1 (m)χD2 (m) = χD1 (m1 )χD2 (1) = −1
ce qu’il fallait montrer (l’existence d’un tel m).
(2) A FAIRE.
Somme de Gauss τD en chantier
Somme de Gauss
τD =
X
m
χD (m)ζ|D|
m∈(Z/DZ)×
Pour deux discriminants quadratiques fondamentaux D1 , D2 premiers entre eux, leur produit est un
discriminant quadratique fondamental et l’on a :
τD1 D2 = ε τD1 τD2 ,
ε = χD1 (D2 )χD2 (D1 )
Corollaire 1.
Pour un discriminant quadratique fondamental D, notons τD la somme de Gauss quadratique :
X
m
τD =
χD (m)ζ|D|
m∈(Z/DZ)×
Alors :
2
τD
=D
7
Preuve. L’anneau Z/DZ est de cardinal |D| donc :
2
τD
= χD (−1) × |D| = signe de D × |D| = D
Lemme 6.
Soit N ≥ 1. Alors la somme sN des racines primitives N -èmes de l’unité (ou encore le coefficient de
degré ϕ(n) − 1 du polynôme cyclotomique Φn ) vaut 0, ±1. Très exactement :
sN = µ(N )
où µ est la fonction de Moebius définie par
(
(−1)r si N = p1 · · · pr où p1 , · · · , pr sont des premiers distincts
µ(N ) =
0
sinon
Bonus arithmétique. On fixe D et on écrit τ = τD sous la forme :
X
m
τ = τ0 − τ1 ,
τ0 =
ζ|D|
,
τ1 =
m|χD (m)=1
X
m
ζ|D|
m|χD (m)=−1
Alors :


0
τ0 + τ1 = µ(|D|) = −1


1
si D est pair
si |D| est impair, composé d’un nombre impair de premiers
si |D| est impair, composé d’un nombre pair de premiers
En conséquence :
4τ0 τ1 = (τ0 + τ1 )2 − (τ0 − τ1 )2 = µ(|D|)2 − D
Et τ0 , τ1 sont racines du trinôme de discriminant D :
(
2
X2 − D
µ(|D|)
−
D
4
=
X 2 − µ(|D|)X +
4
X2 ± X +
En conséquence :
1−D
4
si D est pair
si D est impair
√
Z[τ0 ] = Z[τ1 ] = anneau des entiers de Q( D)
8