Exercices sur les statistiques d`ordre

Exercices sur les statistiques d’ordre
Dans ce qui suit, X1, … Xn est un échantillon aléatoire simple et Y1≤ … ≤ Yn sont les
statistiques d’ordre.
1
Soit X1, … , Xn un échantillon aléatoire simple d’une population exponentielle de
paramètre β.
a) Montrer que Y1 est de loi exponentielle de paramètre β/n.
n
G ( y ) = P (Y1 ≤ y ) = 1 − P (Y1 > y ) = 1 − P ( X1 > y ,..., X n > y ) = 1 −  e− y / β  =


1 − e − ny / β , ce qui est bien la fonction de répartition d’une exponentielle de
b)
paramètre β/n.
Montrer que la densité de Yn est
n
g ( yn ) = e− yn / β [1 − e− yn / β ]n −1
β
n
G ( y ) = P (Yn ≤ y ) = P( X1 ≤ y,..., X n ≤ y ) = 1 − e − y / β  . La fonction de densité


n −y /β
est g(y) = G’(y) = g ( y ) = e
[1 − e− y / β ]n−1
β
c)
Montrer que pour un échantillon de taille n = 2m+1 la densité de la médiane x
est
h( x ) =
(2m + 1)! −( m+1) x / β
e
[1 − e− x / β ]m
m !m!β
n!
[ F ( x )]m f ( x ) [1 − F ( x )]m =
m !m !
m 1
m

n! 
1 − e − x / β   e− x / β  1 − (1 − e− x / β )  =
 β

m !m ! 

h( x ) =
m
m +1
m
n! 
n! 
=
1 − e − x / β   e− x / β 
1 − e − x / β  e −( m +1) x / β .
 


m !m!β 
m !m!β 
2
Soit X1, … , Xn un échantillon aléatoire simple d’une population uniforme sur
(0 ; 1).
a)
Déterminer les distributions de Y1 et de Yn.
La fonction de répartition de X est F(x) = x sur (0 ; 1).
n
G1 ( y ) = P (Y1 ≤ y ) = 1 − P (Y1 > y ) = 1 − P ( X1 > y ,..., X n > y ) = 1 − [1 − F ( y ) ]
= 1-[1-y]n
n
Gn ( y ) = P (Yn ≤ y ) = P ( X1 ≤ y ,..., X n ≤ y ) = [ F ( y ) ] = y n .
Pour trouver les fonctions de densité il suffit de dériver.
b) Déterminer la distribution de la médiane x
Nous supposerons que n = 2m+1. Donc la médiane est la donnée de rang
m+1. La fonction de densité est donc
h( x ) =
c)
n!
n!
[ F ( x )]m f ( x ) [1 − F ( x )]m =
[ x ]m [1 − x ]m
m !m !
m !m !
Déterminer l’espérance et la variance de Y1
La fonction de densité de Y1 est g(y) = n(1-y)n-1 sur (0,1). L’espérance de Y1
est
∫
1
0
d)
1
x  n(1 − x)n −1  dx =
.


(n + 1)
Déterminer la probabilité que dans un échantillon de taille n = 4 d’une
population uniforme sur (0 ; 1) la plus petite valeur soit ≥ 0,2.
P (Y1 > 0, 2) = 1 − G1 (0, 2) = (1 − 0, 2) 4
3
Soit X1, … , Xn un échantillon aléatoire simple d’une population de densité f.
a)
Montrer que la densité conjointe de (Y1 ; Yn) est donnée par
n−2
 yn

g ( y1 , yn ) = n(n − 1) f ( y1 ) f ( yn ) 
f (t )dt 
− ∞ < y1 < yn < ∞
 y1

 La densité conjointe de deux variables (X,Y) est définie par 


 lim P( x < X < x + ∆x, y < Y < y + ∆y )

 ∆x→0
∆x∆y

 ∆y →0

∫
Nous commençons par calculer la probabilité
P( y1 < Y1 ≤ y1 + ∆y1; yn < Yn ≤ yn + ∆yn ) . Nous la diviserons ensuite par ∆y1∆yn
et prendrons la limite lorsque ∆y1 → 0 et ∆yn → 0 .
P( y1 < Y1 ≤ y1 + ∆y1; yn < Yn ≤ yn + ∆yn ) =
P[une observation dans l'intervalle ( yn ; yn + ∆yn )] ×
P[une observation dans l'intervalle ( y1; y1 + ∆y1 )] ×
P[n-1 observations dans l'intervalle ( y1 + ∆y1; yn )] .
= [ F ( y n + ∆y n ) − F ( y n ) ] ×
[ F ( y1 + ∆y1 ) − F ( y1 ) ] ×
[ F ( yn ) − F ( y1 + ∆y1 ) ]n-2 × n(n − 1)
où n(n-1) = 2
( n2 )
est le nombre de façons de placer les observations dans les intervalles. On
divise par ∆y1∆yn et on prend les limites :
F ( y1 + ∆y1 ) − F ( y1 )
→ f ( y1 ) ;
∆y1
yn
F ( y n + ∆y n ) − F ( y n )
→ f ( yn ) ; et F ( yn ) − F ( y1 + ∆y1 ) →
f (t )dt . C’est ce
y1
∆yn
∫
b)
c)
qui donne le résultat voulu.
Appliquer ce résultat à un échantillon d’une population exponentielle de
paramètre β.
Appliquer ce résultat à un échantillon d’une population uniforme sur (0 ; 1).