L3 Info, Probabilités-Statistiques et Applications TP, Feuille N° 2 Exercice 1. (1) Ecrire une fonction Matlab rndbern(ft, p) pour créer une matrice de nombres aléatoires indépendants de loi de Bernoulli de paramètre p Î[ 0,1] . ft est le format de la matrice. (2) Ecrire une fonction rndbino(ft,n,p) pour simuler un échantillon de loi binomiale de paramètre p Î[ 0,1] . ft est le format de l’échantillon. (3) Ecrire une fonction rndselect(ft,P) qui construit une matrice, de format ft, de nombres aléatoires tirés suivant la loi sur {1,2,..., k} définie par le vecteur P = [ P(1), P(2 ),..., P( k )] . . 0.2 0.3 0.4] , on calcule X=randselect(P,n) pour n=10, 100, 1000. (4) Considérons P = [ 01 Expliquer le comportement du résultat de la commande hist(X,1 :4) pour les différentes valeurs de n. Exercice 2. (1) En utilisant la méthode d’inversion de la fonction de répartition, écrire une fonction rndexp(ft,lambda) simulant un échantillon de loi exponentielle de paramètre l . ft est le format de l’échantillon. (2) Ecrire une fonction rndcauchy(ft,a,b) pour simuler un échantillon de loi de Cauchy de paramètre (a,b). (3) Créer un échantillon X de taille n=1000 de loi N (2,6) , puis observer l’affichage des commandes plot(cumsum(X)./(1:N)) et plot(cumsum(X)./sqrt((1 :N))). Expliquer le résultat d’affichage. Refaire l’expérience avec un échantillon de loi exponentielle. (4) Refaire l’expérience précédente avec un échantillon de loi de Cauchy de paramètre (0,1). Expliquer le résultat. Exercice 3. (1) Soit ( X i ) i ³1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de Y = å n 1 X 1 +L+ X n £1< X 1 +L+ X n+1 paramètre l , et . Vérifier que Y suit la loi de Poisson de n ³1 { n } paramètre l . Soit Z = max n : Õ U i ³ exp( - l ) , où U i sont des v.a. iid de loi uniforme i =1 sur [0,1], en déduire que Z suit la loi de Poisson de paramètre l . (2) Programmer une fonction poiss(lambda) qui simule une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre l . Ecrire une fonction rndpoiss(ft,lambda) pour simuler un échantillon de loi de Poisson de paramètre l . (3) Afficher l’histogramme d’un échantillon X de taille n=500 de loi de Poisson de paramètre l.