Echantillonnage-Estimation 1) Position du problème: Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques . On prend alors un échantillon de la population. Le problème est de savoir le degré de confiance que l’on peut accorder aux résultats obtenus sur cette population partielle. 2)définitions: L’échantillonnage consiste connaissant les propriétés sur la population à déterminer les propriétés sur les échantillons. Le problème contraire c’est l’estimation. Remarque :Un tirage non exhaustif c’est un tirage avec remise. 3)Echantillonnage : a)Distribution d’échantillonnage des moyennes: Soit une population de moyenne m et d’écart type σ Soit X la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. Pour n assez grand, X suit une loi Normale (m , / n) b)Distribution d’échantillonnage des proportions:. Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée. Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon. Pour n assez grand, F suit une loi Normale ( p , p(1 p) ) n 4)Estimation: a)Estimation ponctuelle: Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population ) c’est x moyenne de l’échantillon Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population ) c’est f proportion dans l’échantillon Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population ) c’est s = échantillon n n1 avec n la taille de l’échantillon. b)Estimation par intervalle de confiance: principe On cherche un intervalle qui contient la valeur estimée avec une certaine probabilité α (95% , 99% ) cas d’une moyenne dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu dans l’échantillon de taille n, la moyenne est Soit X x la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. X est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. X suit une loi Normale (m , / centrée réduite associée n) .Soit T la variable aléatoire à X Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que : P(-t<T<t)=α Π(t) – Π(-t) = α Π(t) – [(1- Π(t)] = α 2 [Π(t)] – 1 = α Π(t)= (1+α )/2 d’où t Si α =0,95 alors t = 1,96 On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur x , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α [ x t / n , x t / n ] cas d’une proportion dans la population : la proportion p est inconnue dans l’échantillon de taille n, la proportion est f Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon. F suit une loi Normale ( p , centrée réduite associée p(1 p) ) n .Soit T la variable aléatoire à F Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que : P(-t<T<t)=α On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α [f t f(1 f) n1 , f t f(1 f) ] n1