quelques exercices Fichier - umtice

Université du Maine
Faculté des Sciences et Techniques
Devoir d’électromagnétisme
[email protected]
Laboratoire PEC, Faculté des Sciences
Avenue Olivier Messiaen
72085 Le Mans Cedex
1 Effet Hall
On considère un barreau conducteur ayant la forme d’un parallélépipède d’arêtes parallèles à Ox,Oy,Oz. Les arêtes ont respectivement pour longueur a,b, et l. Le barreau est
parcouru par un courant parallèle à Oz de densité ~j uniforme. Le barreau est homogène
et de conductivité σ.
1.
(a) Calculer le courant total I parcourant l’échantillon.
(b) Évaluer en fonction de ~j et σ le champ électrique dans le barreau. Calculer la
différence de potentiel V entre les deux extrémités du barreau. En déduire la
résistance R du barreau et commenter.
(c) Le courant est transporté par des charges mobiles de densité volumique ρ.
Exprimer en fonction de ~j et ρ la vitesse ~v de ces charges.
2. On applique désormais au barreau un champ magnétique uniforme ~B dirigé suivant
Oy.
(a) On considère une tranche du barreau d’épaisseur dz perpendiculaire à Oz. Exprimer la force que ~B exerce sur la tranche du barreau.
~ s’exerçant sur un élément de volume dτ por(b) De même, exprimer la force dF
tant une charge dq en fonction de ces paramètres et de ~v , puis en fonction de
~j.
~2
(c) Le courant est maintenu parallèle à Oz en appliquant un champ électrique E
~ s’exerçant sur les porteurs de charge. Exprimer
créant une force opposée à dF
~2
E
~2 entre les deux faces per(d) Calculer la différence de potentiel VH créée par E
pendiculaires à Ox. Montrer que cette tension VH est de la forme
VH =
RH IB
b
Exprimer RH dite constante de Hall du matériau.
(e) Application numérique : b = 0, 1 mm, B = 1 T, I = 10A. On mesure V = 20
µV. Déterminer RH et commenter.
2
Rails de Laplace
Sur deux rails conducteurs parallèles situés dans un plan horizontal à une distance l l’un
de l’autre glissent sans frottement deux fils rigides de masse m assujettis à rester perpendiculaire aux rails. L’ensemble est soumis à un champ magnétique vertical uniforme ~B.
Les deux rails ont une résistance négligeable ; les fils ont une résistance r.
1. Le premier fil est maintenu fixe et on déplace le deuxième à vitesse constante v0 en
exerçant une force F.
(a) Écrire l’équation électrique régissant le circuit
(b) Exprimer la force électromotrice e qui apparaît,
(c) Calculer le courant i produit et la puissance P = ei dissipée.
2. On laisse désormais le premier fil se mouvoir ; soit v sa vitesse, supposée nulle
àt = 0. On négligera l’auto -induction.
(a) Exprimer le nouveau courant i
(b) En déduire la force supplémentaire F 0 agissant sur le deuxième fil et montrer
qu’elle vaut en norme
F0 =
B2 l 2 (v0 − v)
2r
(c) Ecrire l’équation du mouvement correspondante pour le premier fil et en déduire sa vitesse v à l’instant t en supposant v = 0 à t = 0. Commenter le
résultat.
(d) Intégrer v(t) entre t = 0 et t = T pour T grand devant
R
déplacement x(t) = 0T v(t)dt en fonction de x0 = v0 T .
2mr
B2 l 2
; en déduire le
3 Freinage par courants de Foucault
O’
y
B=Bez
eφ
er
φ
r
x
O
a
On considère un petit cadre conducteur, de côté a, centré sur l’axe Oz, de forme carrée, attachée à l’extrémité d’un long pendule isolant supposé sans masse, de longueur l
tournant autour de l’axe 00 z. Le cadre conducteur est constitué d’un seul enroulement de
fil de cuivre de conductivité σ.
Ce système baigne dans un champ magnétique uniforme ~B = B~ez .
1. Détermination du potentiel vecteur. On suppose que ~B dérive du potentiel vecteur
~A selon ~B = rot
~ ~A, que le vecteur ~A est orienté suivant e~φ , et qu’il ne dépend que de
la coordonnée r.
(a) En calculant la circulation de ~A le long d’un cercle de rayon r centré en O,
trouver l’expression de ~A à l’aide du théorème de Stokes.
(b) En passant en coordonnées cartésiennes, montrer que les coordonnées de ~A
sont par exemple :
Ax = −B
Ay = B
y
2
x
2
Az = 0.0
~ ~A = ~B
(c) Vérifier que rot
2. Champ variable On suppose que le cadre est maintenu immobile mais que le
champ magnétique varie suivant une loi B(t) = B0 cos ωt.
(a) Expliquer comment en pratique on peut créer un tel champ magnétique dépendant du temps.
(b) À l’aide de la loi de Lenz que l’on rappelera, calculer le flux de ~B à travers
la surface du cadre, puis la force électromotrice e induite dans le cadre. Quel
effet néglige-t-on ce faisant ?
(c) Application numérique : B0 = 0.02 T, ω = 2π f avec f = 50 s −1 , a = 1 cm,
calculer e.
(d) Retrouver l’expression de e à l’aide du champ électromoteur de Neumann E~m
dont on rappellera l’expression et la valeur dans ce cas.
~ E~m et commenter le résultat.
(e) Calculer rot
3. Chauffage par induction On remplace le cadre par un cube homogène de cuivre
de conductivité σ et de côté a, dont on suppose qu’il obéit à la loi d’Ohm. Ce cube
est soumis au champ variable ~B(t).
(a) Rappeler la définition microscopique du courant ~j régnant dans le cube.
(b) Exprimer ce courant en fonction de E~m et σ.
(c) Exprimer la puissance totale dissipée par effet Joule dans le cube de cuivre.
(d) On assimile le champ électrique ~E au champ électromoteur E~m . Exprimer le
courant de déplacement ~jD dont on rappelera l’expression.
(e) Calculer le rapport des amplitudes de ~jD et de ~j et commenter le résultat.
Donnée : σ = 108 U.S.I.
4. Circuit mobile et champ fixe On suppose désormais que le champ ~B est constant
mais que le cube de cuivre supposé indéformable est mobile, de vitesse ~v que l’on
supposera parallèle à Ox pour les petites oscillations du pendule.
(a) Donner l’expression du champ électromoteur de Neumann E~m dans ce cas.
(b) Rappeler l’expression microscopique de la force de Laplace.
(c) En déduire la force d ~F s’exerçant sur un élément de volume dτ du cadre à
l’aide de la force de Laplace, puis la force totale s’exerçant sur le cube.
(d) Commenter le phénomène physique ; qu’advient-il des oscillations du pendule
supposé sans frottement ?
Oz
4 Détermination de champs et de discontinuités
C3
C1
a
C2
R1
a
On considère un système très employé en pratique dans les petites réalisations électroniques, constitué d’un solénoïde toroïdal représenté en coupe par un plan médian sur la
figure ci-dessus, , de section carrée de côté a, possédant la symétrie de révolution autour
de l’axe Oz, constitué de N enroulements de fil parcouru par un courant I. On se place en
coordonnées cylindriques (r, φ, z) usuelles.
1. De quelles coordonnées le champ magnétique ~B créé par le courant I dépend-il a
priori ?
2. Par des considérations de symétrie, donner de même les lignes du champ ~B et son
orientation.
3. À l’aide du théorème d’Ampère que l’on rappelera, et que l’on appliquera sur un
cercle C1 de rayon r centré sur l’axe Oz et contenu dans un plan orthogonal à celuici, établir alors que le champ à l’intérieur du solénoïde a pour norme
B=
µ0 NI
2πr
4. Établir de même que le champ ~B est nul en dehors du solénoïde.
5. Calculer le rotationnel de ~B dans ces deux cas ; commenter le résultat obtenu en
faisant le lien avec la forme locale du théorème d’Ampère que l’on rappelera.
6. Détermination du potentiel vecteur à l’intérieur du solénoïde. On suppose que
~B dérive du potentiel vecteur ~A selon ~B = rot
~ ~A, que le vecteur ~A est orienté suivant
~ez , et qu’il ne dépend que de la coordonnée r.
(a) À l’aide de l’expression du rotationnel en coordonnées cylindriques, calculer
Az par intégration directe.
(b) En calculant la circulation de ~A le long d’un carré C2 de côté c situé entre R
et R + c contenu dans le solénoïde et dans un plan contenant Oz (par exemple
le plan de la figure) , puis le flux de ~B à travers ce même carré, vérifier le
théorème de Stokes que l’on rappelera.
7. Discontinuité du champ On se place près de la surface du solénoïde.
(a) Rappeler la valeur de la discontinuité du champ entre l’intérieur et l’extérieur
du solénoïde.
(b) Établir l’expression de la densité de courant surfacique~js et vérifier la validité
de ces expressions à l’aide de ~B établies plus haut.
(c) Redémontrer l’expression de la discontinuité de la composante tangentielle
du champ ~B à l’aide d’un petit parcours carré C3 de côté dl orthogonal à la
surface du solénoïde et à l’axe Oz.
(d) De même, à l’aide d’une petite boîte parallélépidédique de base C3 retrouver
l’expression de la discontinuité de la composante normale de ~B.
8. Application numérique : I = 3A, N = 100 spires, a = 3mm, µ0 = 4π10−7 USI,
r1 = 5mm, calculer la valeur maximale du champ magnétique dans le solénoïde.
Donnée : en coordonnées cylindiques, le rotationnel d’un vecteur ~A (dont les trois
cooordonnées (Ar , Aφ , Az )dépendent chacune de (r,φ,z) vaut
~ ~A =~er
rot
5
1 ∂Az ∂Aφ
−
r ∂φ
∂z
+~eφ
∂Ar ∂Az
−
∂z
∂r
1 ∂(rAφ ) ∂Ar
+~ez
−
r
∂r
∂φ
Exploration du champ d’un solénoïde
On considère une petite bobine à n spires, de rayon r R, située à l’intérieur d’un
solénoïde de rayon R, de longueur L, à N spires et parcouru par un courant I constant.
Cette bobine, initialement à la position z0 de l’axe, est assujettie à se mouvoir parallèlement à l’axe en un mouvement sinusoïdal de pulsation ω et d’amplitude a L. Que vaut
la force électromotrice aux bornes de la bobine ?
N
I(cos θ1 − cos θ2 ) où θ1 et θ2
(Le champ généré par le solénoïde sera pris égal à µ0 2L
sont les angles sous lesquels la bobine voit les faces de sortie )
θ2
θ1
z
bobine
solénoide
6 Pression électromagnétique
Soit une onde électromagnétique plane monochromatique progressive de pulsation ω, se
propageant dans le vide. Le champ électrique s’écrit
~Ei = E0 cos(ωt − k cos αx − k sin αy)~uz
1. Quel est le vecteur de propagation ~k de l’onde ? L’exprimer en fonction de ω, c et
~u, vecteur unitaire dans le sens de propagation de l’onde.
2. En utlisant la relation de Maxwell-Faraday éventuellement simplifiée pour les ondes
planes monochromatiques calculer le champ magnétique ~Bi associé à ~Ei (on notera
~u0 = ~u ∧~uz ).
3. Représenter les trois vecteurs ~k,~Ei et ~Bi et commenter.
4. Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting. Quelle est la puissance surfacique moyenne à travers une surface perpendiculaire à la direction de propagation
?
5. Pour les x > 0 on place un miroir métallique parfait M de normale ~ex et de conductivité quasi-infinie. On note ~Er et ~Br les champs réfléchis. L’onde se réfléchit
suivant les lois de Descartes.
Montrer que le champ électrique est nul à l’intérieur du miroir métallique parfait.
6. Quelles sont les relations de passage vérifiées par les champs électriques puis magnétiques totaux (incidents plus réfléchis) en x = 0 ? Représenter ces champs.
7. Déterminer la densité superficielle de charge σ et de courant ~js dans le plan x = 0.
8. On considère un élémént dS de la surface du miroir. Calculer à partir de l’expression
microscopique de la loi de Laplace la force magnétique d ~fm agissant sur dS. En
déduire la pression électromagnétique (force par unité de surface) et sa moyenne.
7
Couche anti-reflet
On divise l’espace en trois zones par trois plans parallèles à Oxy situés en z = 0 et z = e.
Un verre d’indice N > 1 se trouve en z > e. Une couche d’indice n se situe en 0 < z < e.
La zone z < 0 est vide.
Une OPPM (onde plane progressive monochromatique) de k > 0 et de pulsation ω se
propage dans le vide. On la repère par l’indice 1. Elle est polarisée rectilignement suivant
Ox. Il se produit une succession de réflexions et de transmissions. On notera les ondes
correspondantes par les indices 2 3 4 et 5. On note de plus la vitesse de phase v j = ncj .
1. Quelle est la relation enre k et ω dans le vide ? Dans un milieu d’indice n j réel ?
2. Donner ~Bi pour une OPPM connaissant ~Ei .
3. Écrire l’expression générale de tous les champs ~Ei et ~Bi .
4. Écrire les conditions de passage en fonction de φ = nke et Φ = Nke. Les milieux
ne présentent pas de propriétés magnétiques. On veut éliminer la réflexion dans le
04
dans ce cas. Expliciter les conditions sur
vide. Donner deux expressions de r = EE03
n et N pour qu’il y ait compatibilité.
5. AN : N = 1,5 λ0 = 0,6 µm donner n et e minimales.
N−n2
N+n2
2
6. En pratique n = 1,35 au moins. Calculer le facteur de réflexion R =
correspondant. Comparer à l’absence de couche. Que se passe-t-il si on associe
cinq lentilles ainsi traitées ?
7. Exprimer les valeurs moyennes des vecteurs de Poynting R1 et R5 . En déduire
le facteur de transmission en énergie. Calculer le vecteur de Poynting total dans
chaque zone. Remarques ?
8
Guide d’ondes
On considère quatre plans de métal parfait situés en x = 0, x = a, y = 0, y = b, délimitant
un guide d’ondes.
On étudie ~E = f (y) cos(ωt − kg z)~ux
On pose kg =
2π
λg
1. Donner une équation sur f (y)
2. Avec les conditions aux limites (C.L) sur y trouver f (y). Que se passe-t-il suivant
la direction x et sur les plaques ?
3. Trouver ~B et commenter de même.
4. Exprimer kg puis λg . Montrer qu’il existe une fréquence de coupure. A.N: fc = 2, 5
GHz„ trouver b.
5. Trouver les vitesses de phase et de groupe
6. Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting
7. Donner la densité volumique d’énergie électromagnétique
8. Que vaut la vitesse de propagation de l’énergie ?
9. Que se passe-t-il si les plaques ont une conductivité finie ?
9
Ondes dans un plasma
Soit un plasma formé
1. d’ions positifs de charge +|e|, de masse M et de vitesse ~V
2. d’électrons de charge −|e| de masse m et de vitesse ~v
Ces constituants sont supposés immobiles, ne pas interagir pas entre eux (plasma très
dilué) et on néglige la pesanteur.
On considère une OPPM
~E(z,t) = ~E0 e−i(ωt−kz)
et on se place en régime sinusoïdal forcé.
1. Peut-on négliger l’effet du champ magnétique sur les particules chargées ?
2. Donner ~V et ~v en fonction de ~E et en déduire la densité de courant ~j. Montrer que
~
la contribution
qdes ions est négligeable. Donner ~j en fonction de ε0 , ω, ω p et E en
posant ω p =
Ne2
ε0 m
(pulsation de plasma).
3. Montrer que la densité volumique de charges ρ est nulle. Quelle en est la conséquence sur le champ électrique ?
4. Établir l’équation de dispersion donnant k2 en fonction de ω, ω p et c. Représenter
k(ω). En déduire que l’on a un diélectrique parfait.
5. Si ω < ω p y-a-t-il propagation ?
6. Si ω > ω p donner la vitesse de phase vφ et la vitesse de groupe vg .
7. On définit l’indice n par vφ = nc . A.N : On suppose que l’ionosphère peut être
étudiée dans le présent cadre. On constate que les ondes radio de fréquence inférieure à 9 MHz ne sont pas transmises. En déduire N (densité du plasma) et
commenter. Comparer le cas de stations de radio émettant sur 1376 m et 2,85 m.