Université du Maine Faculté des Sciences et Techniques

Université du Maine
Faculté des Sciences et Techniques
Licence 2 PHY/CHI/E2I - Module PHY206 (Électromagnétisme)
Contrôle Continu - 4 janvier 2012 (Durée: 2 h)
1. Questions de Cours (8 points)
(a) On considère deux circuits C1 et C2 parcourus par des courants I1 et I2 respectivement.
Donner le flux total des champs magnétiques dans chacun des deux circuits en fonction
des auto- et mutuelles inductances que l’on définira.
(b) On considère une onde plane à laquelle est associé un champ électrique ~E = E0~ex ei(kz−ωt)
où E0 est une constante et ~ex un vecteur unitaire fixe dans les coordonnées usuelles
(x, y, z) d’un repère cartésien orthonormé. À l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday,
retrouver le champ magnétique ~B associé à l’onde, puis donner le vecteur de Poynting
correspondant ~Π et commenter le résultat.
2. Exercices (12 points)
On considère un petit circuit conducteur, de rayon R, centré sur l’axe Oz, de forme circulaire, constitué d’un seul enroulement de fil de cuivre de section circulaire de rayon r et de
conductivité σ.
Ce système baigne dans un champ magnétique uniforme ~B = B~ez .
(a) Détermination du potentiel vecteur. On suppose que ~B dérive du potentiel vecteur
~A selon ~B = rot
~ ~A, que le vecteur ~A est orienté suivant e~φ , et qu’il ne dépend que de la
coordonnée r.
i. En calculant la circulation de ~A le long d’un cercle de rayon r centré en O, trouver
l’expression de ~A à l’aide du théorème de Stokes.
ii. En passant en coordonnées cartésiennes, montrer que les coordonnées de ~A sont
par exemple :
Ax = −B
Ay = B
y
2
x
2
Az = 0.0
~ ~A = ~B
iii. Vérifier que rot
(b) Champ variable On suppose que le cadre est maintenu immobile mais que le champ
magnétique varie suivant une loi B(t) = B0 cos ωt.
i. À l’aide de la loi de Lenz que l’on rappelera, calculer le flux de ~B à travers la
surface du cadre, puis la force électromotrice e induite dans le cadre. Quel effet
néglige-t-on ce faisant ?
ii. Application numérique : B0 = 0.05 T, ω = 2π f avec f = 50 s −1 , a = 1 cm,
calculer e.
iii. Retrouver l’expression de e à l’aide du champ électromoteur E~m dont on rappellera l’expression et la valeur dans ce cas.
~ E~m et commenter le résultat.
iv. Calculer rot
T.S.V.P
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3. Soit un plasma formé, par mètre cube,
(a) de N ions positifs de charge +|e|, de masse M = 1836m, position ~X et de vitesse ~V
(b) de N électrons de charge −|e| de masse m position ~x et de vitesse ~v
Ces constituants sont supposés immobiles, ne pas interagir pas entre eux (plasma très dilué)
et on néglige la pesanteur.
On considère une onde plane électromagnétique monochromatique progressive polarisée
rectilignement
~E(z,t) = ~E0 e−i(ωt−kz)
et on se place en régime sinusoïdal forcé : les ions et les électrons sont soumis au champ via
la force de Lorentz et leur position est du type
~x =~x0 e−i(ωt−kz)
(a) Peut-on négliger l’effet du champ magnétique sur les particules chargées ?
(b) Donner ~V et~v en fonction de ~E en utilisant la deuxième relation de Newton ("PFD") et
en déduire la densité de courant~j. Montrer que la contribution des ions
q est négligeable.
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Donner le courant ~j en fonction de ε0 , ω, ω p et ~E en posant ω p = Ne (pulsation de
ε0 m
plasma).
(c) Montrer que la densité volumique de charges ρ est nulle. Quelle en est la conséquence
sur le champ électrique ?
(d) Rappeler les équations de Maxwell pour une onde plane, en utilisant une forme simplifiée des opérateurs ∇ et ∂t∂ que l’on rappellera et utilisera par la suite.
(e) Établir (en travaillant sur l’un des deux champs électriques ou magnétiques) l’équation
de dispersion donnant k2 en fonction de ω, ω p et c. Représenter k(ω).
(f) Si ω < ω p y-a-t-il propagation ?
(g) Si ω > ω p donner la vitesse de phase de l’onde vφ =
ω
k
et la vitesse de groupe vg =
dω
dk .
(h) On définit l’indice n par vφ = nc . Exprimer cet indice.
(i) A.N : On suppose que l’ionosphère peut être étudiée dans le présent cadre. On constate
que les ondes radio de fréquence inférieure à 9 MHz ne sont pas transmises. En déduire
N et commenter. Comparer le cas de stations de radio émettant sur 1376 m et 2,85 m.
Données : c = 3.108 USI, µ0 = 4π.10−7 USI, m = 9, 1.10−31 USI
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