TD16 Bilan energetique d un solenoide en regime variable c

MP – Physique-chimie. Travaux dirigés
Bilan énergétique d’un solénoïde en régime variable-corrigé
1- Que signifie l’expression « lentement » variable ? Expression de B à l’intérieur du solénoïde ?
Nous nous plaçons délibérément dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires
(ARQS). C’est une condition pour que l’on puisse parler du courant dans le solénoïde sans préciser à
quel endroit dans le solénoïde, c’est-à-dire dans quelle spire.
Dans l’ARQS, le champ magnétique a la même expression qu’en régime permanent, soit :
t −
B = µ 0 jS ∧ er = µ 0 n i ( t ) ez = µ 0 n i0 e τ ez
où ez est le vecteur unitaire selon l’axe du solénoïde orienté par le sens du courant I.
2- Symétries du champ électrique E
L’équation de Maxwell-Faraday nous indique que le champ E a un rotationnel uniforme de direction
ez . Cela signifie que les lignes de champ s’enroulent autour de ez et donc que le champ est
orthoradial. Les invariances par rotation autour de Oz et par translation selon Oz impliquent que la
valeur algébrique orthoradiale du champ ne dépende que de r, ce qui implique :
E = Eθ ( r , t ) eθ ( θ )
Remarque : un autre argument peut être entendu pour prouver cela. Tous plan contenant l’axe Oz est
un plan d’antisymétrie de la distribution des sources électromagnétiques (ici les courants). Il s’ensuit
que tous les champs de vecteurs polaires (les « vrais » vecteurs comme E et A ) sont antisymétriques
par rapport à une tel plan. Corollairement, tout point M de l’espace appartenant à un tel plan, le champ
en M est orthogonal à ce plan, c’est-à-dire orthoradial.
3- Exprimer la circulation du champ E le long d’un parcours circulaire de rayon r ( r < R ) d’axe Oz et
orienté dans le sens direct. En déduire l’expression de E ( r , t ) .
Nous appliquons le théorème de Stokes sur un tel parcours :
d
E ⋅ d =
rot E ⋅ n+ dS = −
dt
C
S
∫
∫∫
∫∫
S
B ⋅ ez dS
La composante Eθ de dépendant que de r, la circulation du champ électrique s’écrit simplement :
E ⋅ d = Eθ
eθ ⋅ d = Eθ
d = 2πrEθ
∫
C
∫
C
∫
C
D’autre part, le champ magnétique étant uniforme, le flux a une expression très simple :
t
−
2
2
τ
B ⋅ ez dS =
Bz dS = Bz dS
dS = πr Bz = πr µ0 n i0 e
∫∫
S
∫∫
S
∫∫
S
t
t
d  − τ  πr 2µ0 n i0 − τ
Nous en déduisons l’expression du champ électrique : 2πrEθ = −πr µ0 n i0  e  =
e

dt 
τ

2
rµ 0 n i0 − τt r Bz Et donc : E ( r , t ) =
e eθ =
eθ
2τ
2τ
Jean Le Hir, 30 novembre 2007
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LYCÉE DE KERICHEN
MP-Physique-chimie
Travaux dirigés
4- Montrer que dans le cas présent d’un régime « lentement » variable, la densité volumique d’énergie
électrique est négligeable devant la densité volumique d’énergie magnétique.
2
2
Bz2
1 2 1  r Bz 
B
Nous avons ue = ε0 E = ε0 
et
u
=
=
.
m

2µ0 2µ0
2
2  2τ 
2
2
um
Bz2 2  2τ 
1  2 τ   2c τ 
Par conséquent :
=
× 
 =
  =

ue 2µ 0 ε 0  r Bz 
ε 0µ 0  r   r 
2
cτ représente la distance parcourue par l’interaction électromagnétique dans le temps caractéristique
de la variation du champ. Par définition, dans l’ARQS, cette distance est très grande par rapport à la
plus grande des dimensions du circuit, c’est-à-dire ici par rapport à la longueur du solénoïde et donc
a fortiori par rapport à r. Nous en déduisons donc que ue um .
5- Montrer que le vecteur de Poynting Π est radial et déterminer son expression de la forme
Π ( r , θ, t ) = Π r ( r , t ) er ( θ ) .
2t
−
2 2
2 E ∧ B
µ r n i0 e τ r Bz
r Bz
=
Par définition : Π =
eθ ∧ Bz ez =
er = 0
er
µ0
2τµ 0
2µ 0 τ
2τ
Cette expression est bien de la forme attendue, avec Π r ( r , t ) =
2t
−
µ 0 n 2 i0 2
re τ
2τ
( )
6- On démontre qu’en coordonnées cylindriques div r er = 2 . Le théorème de Poynting est-il vérifié ?
µ n 2 i 2
− 2t µ n 2 i 2 − 2t
Nous avons donc div Π = 0 0 div r er e τ = 0 0 e τ
2τ
τ
( )
D’autre part, la densité volumique d’énergie électromagnétique étant principalement magnétique, soit
uem um =
Bz2 µ0 n 2 i0 2 −
=
e
2µ0
2
2t
τ
, nous avons donc :
∂uem dum
µ n2 i 2 −
=− 0 0 e
dt
∂t
τ
2t
τ
Nous retrouvons bien la formule correspondant au théorème de Poynting en l’absence de courant :
∂u
div Π − em = 0
∂t
7- Faire le bilan d’énergie pour un morceau de solénoïde de longueur entre l’instant 0 où le courant
électrique a une valeur initiale i0 et un temps « infini » au bout duquel le courant s’est annulé.
Commenter ce bilan d’énergie.
µ n2 i 2
À l’instant initial, l’énergie électromagnétique a pour valeur Eem ( 0 ) πR 2 um ( 0 ) = πR 2 0 0
2
Le flux instantané du vecteur de poynting sortant du volume du solénoïde a pour expression :
2 2 − 2t
2 µ 0 n i0
Π ⋅ next dS = 2πR × Π r ( R, t ) = πR e τ =P
τ
S
Ce flux correspond à la puissance P rayonnée et en intégrant cette puissance entre t = 0 et l’infini,
nous obtenons :
∫∫
∞
2 2
 τ − 2t 
2 µ 0 n i0
τ
=
π
e
e
R
= Eem ( 0 )


2
0
0
 2
 0
Toute l’énergie magnétique initialement présente sera rayonnée…
∫
∞
µ n 2 i0 2
P dt = πR 0
τ
JLH 30/11/2007
2
∫
∞
−
2t
τ
µ n 2 i0 2
dt = πR 0
τ
2
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