Enoncé - CPGE Dupuy de Lôme

CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011
PC Physique
Devoir n˚6 - le 11 octobre - 4 heures
Si vous détectez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, prévenez un enseignant ou notez le sur votre
copie et poursuivez.
Tout résultat non justifié, toute formule non encadrée ne sera pas prise en compte.
Vous attacherez une importance particulière à la rédaction.
Calculatrices autorisées.
I
Électricité
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II
PC Physique
Étude d’une bobine
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Figure 1 – spire
Figure 2 – solénoïde
L
I
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
a
b
|
|
O
M
Z
Z
A
B
D
C
Opérateurs pour les champs en un point M(r, θ, z), dans la base cylindrique associée :
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→
div −
a (M) =
II.1
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1 ∂(r.ar ) 1 ∂aθ ∂az
+ .
+
r ∂r
r ∂θ
∂z


1 ∂az






 r ∂θ
∂aθ
−
∂z
−→−
∂ar ∂az
→
rot a (M)
−


∂z
∂r



1
∂(r.a
) 1 ∂ar
θ


−

r ∂r
r ∂θ
Champ magnétique en régime continu
II.1-1
Champ crée par une spire en tout point de son axe
On considère une spire de rayon a et d’axe OZ placée en z = 0, de centre O. Cette spire est parcourue
par un courant d’intensité I (voir figure 1).
II.1-1a
Déterminer l’expression du champ magnétique en tout point M(z) sur l’axe de la spire, en
fonction de z, a, µ0 et I. L’étude devra être rigoureuse.
II.1-1b
II.1-2
Donner l’allure de B(z).
Champ crée par un solénoïde
On étudie un solénoïde (figure 2) parcouru par un courant I comportant N spires, de longueur totale
L et de rayon a. On négligera les effets de bord.
On admettra que le champ magnétique est nul à l’extérieur du solénoïde.
→
→
→
On utilisera la base B(−
ur , −
uθ , −
uz ) associées aux coordonnées cylindriques (r, θ, z).
II.1-2a
Déterminer le nombre de spires par unité de longueur n en fonction de N et L.
II.1-2b
Par des considérations de symétrie et d’invariance, justifier qu’en tout point M(r, θ, z), le
−
→
→
champ magnétique s’exprime B (M) = B(r).−
uz
II.1-2c
Rappeler l’équation de Maxwell-Ampère dans le cas général puis donner son expression dans
le cas des régimes continus.
II.1-2d
En déduire l’expression du théorème d’ampère
II.1-2e
On choisit le contour proposé avec A(r, 0), B(r, h), C(R, h) et D(R, h). r < a < R.
Appliquer le théorème d’Ampère. Exprimer B(r) en fonction de n, µ0 et I puis de N, L, µ0 et I.
II.2
Étude en régime variable
−
→
On admet que dans le cadre de l’ARQS, on a en tout point à l’intérieur du solénoïde B (M, t) =
→
µ0 .n.i(t).−
uz . Il n’existe pas de charges pour la distribution étudiée.
II.2-1
−
→
→
Justifier que l’on peut écrire le champ électrique sous la forme E = E(r).−
uθ .
II.2-2
Donner l’expression de l’équation de Maxwell-Faraday et vérifier qu’elle amène à l’expression
−
→
µ0 .r.n di −
suivante du champ électrique : E (M, t) = −
. .→
uθ
2 dt
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II.2-3
Rappeler la définition du vecteur de Poynting puis l’exprimer en un point M en fonction de µ0 ,
di
n, r, i et
dt
II.2-4
On considère une surface Σ d’enveloppe un cylindre de rayon r = a− (on considèrera r ≡ a) et
de hauteur L, refermé par deux bases. Il s’agit donc de la surface à l’intérieur du solénoïde (dans l’air),
limitant le solénoïde.
Calculer le flux sortant Φ à travers cette surface fermée du vecteur de Poynting.
II.2-5
Rappeler l’équation de conservation de l’énergie. Que peut-on dire de la puissance volumique
cédée aux porteurs de charges en tout point à l’intérieur du solénoïde ? En déduire une relation entre
l’énergie électromagnétique totale Eem et Φ.
II.2-6
Eem correspond à l’énergie emmagasinée par une bobine. Rappeler son expression en fonction
de l’intensité i(t) et du coefficient L, inductance de la bobine (relation vue en électrocinétique).
II.2-7
En déduire l’expression de L en fonction de n, a, µ0 et L
II.2-8
Quel est selon vous l’intérêt de placer des noyaux de “fer doux” à l’intérieur des solénoïdes ?
II.3
Répartition du courant
L’étude des conducteurs cylindriques en régime variable est complexe d’un point de vue calculatoire,
on va donc modéliser ici le solénoïde par une “nappe” conductrice, assimilable à l’espace compris entre
−
→
→
les plans x = 0 et x = +∞, de conductivité électrique σ. On note j = j(x, t).−
uy la densité volumique
de courants dans cette partie de l’espace. On se place dans le cadre de l’ARQS.
−
→
→
– On note E 0 = E0 .cosωt.−
uy le champ électrique dans le vide en x = 0− .
−
→
→
→
– On écrit sous la forme E = E(x, t).−
uy = E1 .ei.(ωt−kx) .−
uy la représentation complexe du champ électrique pour x > 0.
– Il n’existe pas de courants surfaciques en x = 0
II.3-1
Pour tout point M à l’intérieur de la nappe, écrire les équations de Maxwell
II.3-2
Rappeler l’expression de la loi d’Ohm locale
II.3-3
−
→
En déduire une équation vérifiée par E , puis par E(x, t), notée équation de la diffusion.
II.3-4
Résoudre l’équation de la diffusion et déterminer ainsi l’expression de E(x, t). Donner l’expres−
→
sion de E . On introduira une grandeur δ que l’on définira.
II.3-5
Interpréter qualitativement l’expression obtenue.
II.3-6
Sachant qu’il ny a pas de composante continue pour le champ magnétique, donner une relation
liant les champs électrique et magnétique et en déduire l’expression du champ magnétique pour x > 0.
II.3-7
−
→
−
→
Quelle est l’expression du champ magnétique B0 en x = 0− , en fonction de E0 , ω et δ ?
II.3-8
On souhaite déterminer l’énergie traversant une surface S du plan x = 0 par unité de temps, de
l’air vers le conducteur, grandeur notée Φ. Exprimer Φ en fonction de E0 , δ et µ0 .
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