La trigonométrie

2 Sinus et Tangente :
CHAPITRE 5 : Trigonométrie
Troisième 2003
Dans un triangle ABC rectangle en A, on déni :
1 Rappels :
d comme étant égal au
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a déni cos(ABC)
d par la longueur de l'hypoténuse.
quotient de la longueur du côté adjacent à l'angle ABC
d comme étant égal au quotient de la longueur du côté opposé à l'angle ABC
d
sin(ABC)
par la longueur de l'hypoténuse.(gure 2)
d = côté opposé = AC .
sin(ABC)
hypoténuse
BC
C
e
B
Propriété 2 Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre -1 et 1.
gure 1
e
us
én
d ≤1
−1 ≤ sin(ABC)
B
L'hypoténuse étant le plus grand côté d'un triangle rectangle, le quotient précédent est
toujours plus petit que 1.
Propriété 1 Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre -1 et 1.
d ≤1
−1 ≤ cos(ABC)
d comme étant égal au quotient de la longueur du côté opposé à l'angle ABC
d
tan(ABC)
par la longueur du côté adjacent à celui-ci (gure 3).
d = côté opposé = AC .
tan(ABC)
côté adjacent
AB
C
côté opposé
ot
côté adjacent
us
én
A
p
hy
A
gure 2
ot
C
p
hy
L'oeil étant placé en B, en face se trouve le côté opposé. Le plus grand côté est l'hypoténuse,
le troisième côté est le côté adjacent (gure 1).
côté opposé
d = côté adjacent = AB .
cos(ABC)
hypoténuse
BC
gure 3
Cela permet de vérier que l'on ne s'est pas trompé.
A la calculatrice :
A
côté adjacent
B
Avant de faire une quelconque manipulation sur la calculatrice, on vérie que celle-ci est A la calculatrice :
¤
¤
¡
¡
bien en mode degrés.
Le sinus d'un angle aigu s'obtient avec la touche £SIN ¢, la tangente avec la touche £T AN ¢.
¤
¡
Pour calculer le cosinus d'un angle, on se sert de la touche £COS ¢.
Par exemple sin(30) = 0, 5 et tan(30) = 0, 577 à 10−3 près.
Pour cos(30) on obtient 0, 866 à 10−3 près.
¥
¨
Si on a le
d'un angle et qu'on veut obtenir la mesure de celui-ci, on utilise la touche
Pour obtenir la mesure d'un angle à partir de son cosinus, on utilise la touche §COS −1 ¦ ¨
¥ sinus
¤
¡
¤
¡
−1
SIN
ou
ASN
encore notée £ACS ¢ pour arccosinus.
§
¦ £
¢.
3
d = , alors ABC
d =53 au degré près.
Si on sait par exemple que cos(ABC)
d = 2 alors ABC
d = 24 au degré près.
Exemple : si sin(ABC)
5
5
Si on a¨la tangente
et qu'on veut obtenir la mesure de celui-ci, on utilise la
¥ ¤d'un angle
¡
touche §T AN −1 ¦ou £AT N ¢.
d =
Exemple : si tan(ABC)
1
d = 27 au degré près.
alors ABC
2
3 Relations fondamentales de trigonométrie :
Activité n1 : On va démontrer ici la relation fondamentale suivante : (cosx)2 +(sinx)2 = 1.
Construire un triangle ABC rectangle en A.
Ecrire la relation de Pythagore dans ce triangle.
µ
¶2 µ
¶2
AB
AC
Montrer alors que
+
= 1.
BC
BC
d ) et sin(ABC
d ).
Interpréter ce résultat à l'aide de cos(ABC
d de mesure x, on a :
Propriété 3 Pour tout angle aigu ABC
(cosx)2 + (sinx)2 = 1 ou encore cos2 x + sin2 x = 1
Activité n2 :On va démontrer ici la relation suivante : tanx =
sinx
cosx .
Construire un triangle ABC rectangle en A.
d
d et tan(ABC)
d en fonction des côtés du triangle ABC .
Ecrire cos(ABC),
sin(ABC)
d
sin(ABC)
Que vaut le rapport
?
d
cos(ABC)
Conclure.
d de mesure x, on a :
Propriété 4 Pour tout angle aigu ABC
tanx =
sinx
cosx
4 Conseils :
On ne peut utiliser les fonctions cos,sin, et tan que dans un triangle rectangle, il faut
donc s'assurer que le triangle dans lequel on travaille est bien rectangle.
On ne pourra utiliser les relations précédentes que si l'on connaît un côté et un angle
aigu ou si l'on connaît deux côtés du triangle rectangle.
Ne pas oublier qu'on peut parfois vérier la cohérence de nos résultats ( pas de côté plus
grand que l'hypoténuse, pas de sinus ou cosinus plus grands que 1 par exemple).
Dans la présentation d'un devoir, on n'écrit pas "cos−1 ","sin−1 " ou "tan−1 ", ces notions
seront expliquées au lycée.