Résumé du cours

Résumé du cours
Probabilités conditionnelles
Définition 1
Soit B un événement de probabilité non nulle.
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, la probabilité que A soit réalisé sachant
que B est réalisée, on note cette probabilité pB (A) et
¡
p A∩B
pB (A) =
p(B)
¢
Le calcul d’une telle probabilité peut s’effectuer directement, d’après l’énoncé de l’exercice.
Cette dernière relation écrite sous la forme
¡
¢
p A ∩ B = pB (A) × p(B)
permet de calculer la probabilité d’une intersection en fonction d’une probabilité conditionnelle.
Définition 2
Si la probabilité que A soit réalisé ne dépend pas de B, on dit que les événements A et B sont
indépendants et alors
pA (B) = p(B) et pB (A) = p(A)
Propriété 1
Si A et B sont indépendants, il en est de même de A et B, de A et B,
ainsi que de A et B
A et B sont indépendants si et seulement si
Théorème 1
¡
¢
p A ∩ B = p(A) × p(B)
Théorème 2
Formule des probabilités totales.
• Soit B un événement de probabilité non nulle, et soit A un événement quelconque.
¡
¢
¡
¢
¡ ¢
p(A) = p A ∩ B + p A ∩ B = pB (A) × p(B) + pB (A) × p B
84
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Variable aléatoire discrète
a. Une variable aléatoire discrète est une fonction X définie sur Ω, qui a tout élément de
Ω fait correspondre un réel. X ne prenant qu’un nombre fini de valeurs x i de probabilité
pi .
b. On appelle espérance mathématique de X le nombre réel noté E(X), définit par
n
X
E(X) =
xi · p i
i =1
Définition 3
c. On appelle variance de X le nombre réel noté V(X), définit par
V (X) =
n ¡
X
i =1
n
X
¢2
¡
¢2
x i − E(X) · p i =
x i2 · p i − E(X)
i =1
d. On appelle écart type de X le nombre réel noté σ(X), définit par
σ(X) =
p
V (X)
On montre que
Propriété 2
¡
¢
E a X + b = a E(X) + b
et
V a X + b = a 2 V (X)
¡
¢
Définition 4
On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve a deux issues possibles appelées succès de probabilité p, et échec de probabilité q = 1 − p
Définition 5
On appelle schéma de Bernoulli une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes deux à deux.
Définition 6
On appelle loi binomiale de paramètres n et p, la variable aléatoire X qui donne le nombre
de succès obtenu au cours d’un schéma de Bernoulli.
Théorème 3
La loi de probabilité de X est donnée par
à !
¡
¢
n
p X=k =
p k q n−k pour 0 6 k 6 n
k
L’espérance et la variance d’une loi binomiale X de paramètres n et p sont :
Propriété 3
E(X) = np
Francis C ORTADO
et
Sommaire chapitre 2
V(X) = npq
85