Extrait du livre - Editions Ellipses

cos a b cosa cos b sin a sin b
résumés de cours
FORMULES D'ADDITION
cos a b cosa cos b sin a sin b
sin a b sin a cos b cosa sin b
cos2 a sin 2 a 2 cos2 a 1 1 2sin 2 a
sin 2a 2sin a cosa
FORMULES DE LINÉARISATION
cos2 a
sin 2 a
1
1 cos2a 2
1
1 cos2a 2
contrôles
cos2a
exercices
sin a b sin a cos b cosa sin b
corrigés
1
Compléments
de trigonométrie
’
Exercice 1
PLQ
Donner les expressions suivantes en fonction de sin x, sin y, cos x et cos y.
A sin x y sin x y B cos x y cos x y C sin x y u sin x y D cos x y u cos x y ’
Exercice 2
PLQ
1. Calculer cos 3x en fonction de cos x, en déduire la résolution dans > 0 ; 2 ʌ @
de l'équation 8cos3 x – 6 cos x – 1 0 .
2. Résoudre dans > 0 ; 2 ʌ @ les équations et inéquations suivantes :
a) 4sin x cos x 1 0 .
b) 2 cos2 x 1 sin 3x .
c) sin 2x cos x – sin x cos2x 3
.
2
d) cos3x cos x sin 3x sin x t ’
Sachant que
’
2
.
2
Exercice 3
ʌ ʌ
3 4
PLQ
ʌ
ʌ
ʌ
, déterminer les valeurs exactes de sin
et cos
.
12
12
12
Exercice 4
PLQ
x est un réel vérifiant x  > 0 ; 2 ʌ @ .
1. On donne cos x
2 3
, calculer cos2x , en déduire x.
2
5 1
, en déduire la valeur de cos2x puis celle de
4
cos 4x . Comparer les résultats obtenus. Peut-on alors déterminer x ?
2. On donne cos x
6
1. Compléments de trigonométrie
Exercice 5
PLQ
Dans chacun des cas suivants, linéariser fi (x) :
1. f1 (x) 3sin 2 2x .
2. f2 (x) 2 cos4 x .
ʌ·
§
3. f3 (x) sin 2 ¨ x ¸ .
3¹
©
4. f4 (x) sin 2 x cos2 x .
’’
Exercice 6
PLQ
résumés de cours
’’
ʌ·
§
1. Montrer que pour tout x  > 0 ; 2 ʌ @ , f(x) 2 cos ¨ x ¸ .
3¹
©
2. Calculer f c(x) . Déterminer le signe de la dérivée, en déduire les variations
de la fonction f.
3. Dresser le tableau de variation de f.
exercices
On considère la fonction f définie sur > 0 ; 2 ʌ @ par : f(x) cos x 3 sin x .
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse S.
Exercice 7
PLQ
A
O
C
a
H
B
Un triangle ABC isocèle, de sommet principal A est inscrit dans un cercle de
centre O et de rayon 1. H est le pied de la hauteur issue de A.
n ; on suppose 0 d a d ʌ .
Soit a la mesure en radians de l'angle HOB
2
1. Compléments de trigonométrie
corrigés
’
contrôles
5. Tracer la courbe C représentative de f et la tangente T dans un repère
orthogonal.
7
1. a) Exprimer BC et AH en fonction de a.
b) En déduire, en fonction de a, l'aire $du triangle ABC.
ª ʌº
2. On considère la fonction f définie sur «0 ; » par : f(a) sin a 1 cosa .
¬ 2¼
Calculer la dérivée f c de la fonction f.
3. a) Vérifier que f c(a) 2 cos2 a cosa 1 cos2a cosa .
ª ʌº
b) En déduire le signe de f c(a) sur l'intervalle «0 ; » puis sur
¬ 3¼
ªʌ ʌº
«3 ; 2» .
¬
¼
c) Établir le tableau de variation de la fonction f.
4. Montrer qu'il existe une valeur de a, que l'on déterminera, pour laquelle l'aire
du triangle ABC est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la
nature du triangle ABC ?
8
1. Compléments de trigonométrie
Exercice 1
SRLQWV
7ʌ
7ʌ
Déterminer les valeurs exactes de cos
et sin
en utilisant l'égalité
12
12
7ʌ ʌ ʌ
.
12 4 3
Exercice 2
résumés de cours
PLQSRLQWV
SRLQWV
Simplifier les expressions suivantes :
A(x) cos3x cos x sin 3x sin x .
C(x)
sin 3x cos3x
º
pour x 0 ;
sin 2x cos2x
¼
ʌª
.
4 «¬
Exercice 3
SRLQWV
exercices
B(x) sin 4x cos2x sin 2x cos 4x .
Linéariser :
f(x) 2 cos2 x – 3sin 2 x – 4 .
Exercice 4
SRLQWV
Résoudre dans > 0 ; 2ʌ @ :
§
1. 2 cos2 ¨ x
©
ʌ·
1 sin x .
4 ¹¸
§
2. sin ¨ x
©
ʌ·
ʌ· 1
§
cos ¨ x ¸ t .
¸
3¹
3¹ 4
©
Exercice 5
contrôles
g(x) sin x cos x – 5cos2 x .
SRLQWV
Soit la fonction h définie sur > 0 ; ʌ @ par h(x) 2sin 2 x 3 .
2. Déterminer sur > 0 ; ʌ @ le signe de hc(x) , en déduire les variations de h.
3. Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction h.
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de h au
ʌ
point A d'abscisse x
.
6
1. Compléments de trigonométrie
corrigés
1. Montrer que hc(x) 2sin 2x .
9
Corrigé des exercices
Corrigé 1
On utilise les formules d'addition :
y A sin x cos y cos x sin y sin x cos y cos x sin y A = 2 cos x sin y
y B cos x cos y sin x sin y cos x cos y sin x sin y
B = 2 cos x cos y
sin x cos y
yC
cos x sin y On reconnaît la formule a
yD
cos x cos y
sin x cos y
b a b a 2
cos x sin y b2 :
C = sin 2 x cos 2 y cos 2 x sin 2 y
sin x sin y cos x cos y
sin x sin y La même formule donne :
D = cos 2 x cos 2 y sin 2 x sin 2 y
Corrigé 2
1. On peut écrire cos3x cos 2x x cos2x cos x sin 2x sin x
On applique une seconde fois les formules du cours :
cos3x 2 cos2 x – 1 cos x – 2sin x cos x sin x
cos3x 2 cos3 x – cos x – 2sin 2 x cos x
On remplace sin 2 x par 1 cos2 x :
cos3x 2 cos3 x – cos x – 2 1 – cos2 x cos x
cos3x
2 cos3 x – cos x
– 2 cos x 2 cos3 x
cos3x
4 cos3 x 3cos x
En utilisant l'égalité trouvée à la question précédente, l'équation devient :
1
ʌ
d'où cos3x cos .
2 cos3x 1 0 soit cos3x
2
3
Le cours de première sur la résolution d'équations trigonométriques se
traduit ici par :
ʌ
ʌ
3x
2kʌ ou 3x
2kʌ , k  ] .
3
3
ʌ 2kʌ
ʌ 2kʌ
soit : x
ou x , k ] .
9
3
9
3
10
1. Compléments de trigonométrie
­ ʌ 5ʌ 7 ʌ 11ʌ 133ʌ 17 ʌ ½
S ® ,
,
,
,
,
¾
9
9 ¿
¯9 9 9 9
2. a) On utilise la formule 2sinx cosx = sin 2x, l'équation devient :
1
§ ʌ·
2sin 2x + 1 = 0 soit sin 2x = – , c'est-à-dire sin 2x = sin ¨ ¸ .
2
© 6¹
Le cours sur les équations trigonométriques se traduit par :
ʌ
§ ʌ·
2x
2kʌ ou 2x ʌ ¨
¸ 2kʌ , k  ]
6
© 6¹
ʌ
7ʌ
soit : x = – kʌ ou x =
+ kπ, k  ] .
12
12
Dans l'intervalle > 0 ; 2ʌ @ , l'équation admet 4 solutions que l'on peut
déterminer à l'aide des quatre points images de ces solutions sur un cercle
trigonométrique :
M0
résumés de cours
ʌ 2 ʌ 7ʌ
ʌ 2 ʌ 5ʌ
ou x = – ;
9 3
9
9 3
9
ʌ 4 ʌ 13ʌ
ʌ 4 ʌ 11ʌ
si k = 2, x = ou x = – ;
9 3
9
9 3
9
ʌ
ʌ
17 ʌ
si k = 3, x = 2 ʌ ou x = – 2 ʌ
, la première valeur ne convient pas.
9
9
9
Avec des valeurs plus grandes de k, les solutions ne sont plus dans > 0 ; 2ʌ @ .
si k = 1, x =
exercices
ʌ
ʌ
ou x ,
9
9
cette dernière valeur n'est pas dans l'intervalle > 0 ; 2ʌ @ .
si k = 0, x
contrôles
Les valeurs négatives de k ne conviennent pas car alors, les solutions
n'appartiennent pas à l'intervalle > 0 ; 2ʌ @ .
N1
corrigés
N0
M1
­ 7 ʌ 11ʌ 19 ʌ 23ʌ ½
S ® ,
,
,
¾
¯ 12 12 12 12 ¿
1. Compléments de trigonométrie
11
b) L'équation peut s'écrire :
2cos2x – 1 = sin 3x soit cos 2x = sin 3x.
On utilise une formule sur les arcs associés de première pour transformer
le sinus du second membre en cosinus :
§ʌ
·
cos2x cos ¨
3x ¸
3
2
©
¹
§ʌ
·
§ʌ
·
2x ¨
3x
3
x ¸ 2kʌ ou 2x
3x
3
x¸
¨
©2
¹
©2
¹
ʌ
ʌ
5x
2kʌ ou x
2kʌ , k  ]
2
2
ʌ 2kʌ
ʌ
ʌ
ou x
x
2kʌ , k  ] .
10
5
2
ʌ
ʌ 2ʌ
ʌ 4ʌ
x
; x
; x
; x
10
10 5
10 5
ʌ 5ʌ
et
sont deux solutions confondues.
2 10
­ ʌ ʌ 9 ʌ 133ʌ
S ® ; ;
;
¯10 2 10 10
2kʌ , k  ]
ʌ 6ʌ
; x
10 5
;
ʌ 8ʌ
10 5
17 ʌ ½
¾
10 ¿
Dans une seconde méthode, on aurait pu transformer le cosinus du
premier membre en sinus soit :
§ʌ
·
sin ¨
2 ¸ sin 3x ce qui se traduit par :
2x
©2
¹
ʌ
ʌ
2x 3x 2kʌ
ʌ ou 2x ʌ – 3x 2kʌ , k  ]
2
2
ʌ
ʌ
5x
– 2kʌ ou x
2kʌ , k  ] .
2
2
On retrouve les équations de la première méthode.
c) On reconnaît dans le premier membre le développement de sin (a – b)
avec a = 2x et b = x.
L'inéquation devient :
3
3
sin soit sin x .
2
2
12
1. Compléments de trigonométrie