Irrationalité de ζp2q

Optimal Sup-Spé. Problème de synthèse n° 1
Irrationalité de
⇣p2q
Maths Sup - Concours 2014
Notations, définitions et rappels
— Pour toute fonction f et pour tout entier naturel n, f pnq désignera, lorsqu’elle existe, la dérivée n-ème de f .
Par convention, f p0q “ f .
p
— On rappelle que l’ensemble des nombres rationnels est noté Q et que les rationnels sont de la forme
avec
q
p
p P Z, q P N˚ et où la fraction est irréductible (ce qui s’écrit aussi pgcd pp, qq “ 1). R r Q est l’ensemble des
q
nombres irrationnels.
Objectif du problème, dépendance des parties
— Le but du problème est d’établir une formule permettant de calculer les nombres ⇣p2pq, définis pour tout entier
naturel p supérieur ou égal à 2 par :
⇣ppq “ lim
nÑ`8
n
ÿ
1
.
p
k
k“1
Le problème propose également une preuve de l’irrationalité du nombre ⇣p2q.
— La partie I prouve l’existence de la limite définissant ⇣ppq pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2. La
partie II propose l’étude de la suite des polynômes de Bernoulli, intervenant dans l’expression des nombres
⇣p2pq (p P N˚ ). Au cours de la partie III, on détermine une expression de ⇣p2pq pour tout p P N˚ . Enfin, en
partie IV, on prouve l’irrationalité de ⇣p2q.
— Les parties II, III et IV sont indépendantes entre elles.
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I.
Étude de la convergence de la suite
˜
n
ÿ
1
kp
k“1
¸
nPN˚
Dans cette partie, on considère un entier naturel p supérieur ou égal à 2 et on définit la suite pSn ppqqnPN par :
@n P N˚ , Sn ppq “
n
ÿ
1
¨
p
k
k“1
1) Étudier la monotonie de la suite pSn ppqqnPN˚ .
1
2) (a) Montrer que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1,
§
pk ` 1qp
ª k`1
k
(b) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, Sn ppq ´ 1 §
1
1
dt § p .
tp
k
ªn
1
1
1
dt §
.
p
t
p´1
(c) Conclure que la suite pSn ppqqnPN˚ converge. On notera ⇣ppq sa limite.
II.
Polynômes de Bernoulli et nombres de Bernoulli
Dans cette partie, on note pRrXs, `, ¨q l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On identifie un polynôme
de RrXs à sa fonction polynomiale associée définie sur R.
1) Soit f une fonction définie et continue sur r0, 1s, à valeurs réelles. Montrer qu’il existe une unique fonction
F : r0, 1s Ñ R de classe C 1 sur r0, 1s telle que :
F1 “ f
et :
ª1
0
F ptq dt “ 0.
On appelle suite de polynômes de Bernoulli une suite pBn qnPN de polynômes de RrXs définie par :
i) B0 “ 1,
ii) @n P N˚ , Bn1 “ nBn´1 ,
iii) @n P N˚ ,
ª1
0
Bn ptq dt “ 0.
2) Montrer que les conditions i), ii) et iii) définissent une unique suite pBn qnPN de polynômes de RrXs. On l’appellera alors la suite des polynômes de Bernoulli.
Pour tout n P N, on note : bn “ Bn p0q. On dit que bn est le n-ème nombre de Bernoulli.
3) Calculer B1 et B2 . En déduire b1 et b2 .
4) (a) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, calculer Bn p1q ´ Bn p0q.
(b) Montrer que : @n P N, Bn pXq “ p´1qn Bn p1 ´ Xq.
(c) Montrer alors que pour tout p P N˚ , b2p`1 “ 0.
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n ˆ ˙
ÿ
n
5) (a) Montrer que pour tout n P N, Bn pXq “
b
Xk.
k n´k
k“0
(b) En déduire que la suite des nombres de Bernoulli vérifie : @p P N, p • 2,
(c) Montrer que pour tout p P N, b2p “
2p
ÿ
k“0
ˆ ˙
2p
bk .
k
p ˆ ˙
ÿ
p
b
“ 0.
k p´k
k“1
(d) En déduire que pour tout p P N, p • 2, on a :
b2p “ ´
2p´2
ÿ ˆ2p ` 2˙
1
bk .
k
p2p ` 2qp2p ` 1q k“0
Ces dernières relations permettent de calculer les nombres de Bernoulli par récurrence. Elles permettent également de prouver que les nombres de Bernoulli sont rationnels.
III.
1) Pour tout t Ps0, ⇡s, calculer
n
ÿ
Calcul de ⇣p2pq
cosp2ktq, puis déterminer une constante réelle
telle que :
k“1
@t Ps0, ⇡s,
n
ÿ
sinpp2n ` 1qtq
“
cosp2ktq ` .
2 sinptq
k“1
2) Montrer que pour toute fonction f : r0, ⇡s Ñ R de classe C 1 sur r0, ⇡s on a :
lim
ª⇡
nÑ`8 0
f ptq sinpp2n ` 1qtq dt “ 0.
Pour tout couple pp, kq d’entiers naturels, on définit Jp,k “
ª⇡
0
ˆ ˙
t
B2p
cosp2ktq dt.
⇡
3) (a) A l’aide de deux intégrations par parties, calculer J1,k pour tout k P N.
(b) Pour p P N, p • 2, trouver une relation entre Jp,k et Jp´1,k .
(c) En déduire l’expression de Jp,k en fonction de p et de k pour tout pp, kq P N2 .
Dans la suite, on considère un entier p P N˚ fixé et on définit la fonction 'p : r0, ⇡s Ñ R par :
'p p0q “ 0, 'p p⇡q “ 0 et : @t Ps0, ⇡r, 'p ptq “
B2p p ⇡t q ´ b2p
¨
sinptq
Il est admis dans la suite du problème que la fonction 'p est de classe C 1 sur r0, ⇡s.
4) (a) Donner une expression de
ª⇡
0
'p ptq sinpp2n ` 1qtq dt en fonction de n, p et de b2p .
(b) En déduire la valeur de ⇣p2pq en fonction de p et de b2p .
(c) Donner les valeurs de ⇣p2q et ⇣p4q.
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En 1882, Lindemann démontra que ⇡ est transcendant. C’est-à-dire que ⇡ n’est racine d’aucun polynôme (non
nul) à coefficients rationnels. Ce résultat a permis de prouver que tous les nombres ⇣p2nq sont irrationnels. Le premier
résultat concernant les ⇣p2n ` 1q n’est arrivé qu’en 1978, lorsque Apéry démontra que ⇣p3q est irrationnel. Il aura
fallu plus d’un siècle pour obtenir un résultat concernant l’irrationalité des ⇣p2n ` 1q. Ces nombres restent encore très
mystérieux à l’heure actuelle. En 2001, Zuidilin a montré qu’au moins un nombre parmi ⇣p5q, ⇣p7q, ⇣p9q et ⇣p11q est
irrationnel.
IV.
Irrationalité de ⇣p2q
Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul et pour tout x réel, on pose fn pxq “
xn p1 ´ xqn
.
n!
1) Soit n P N˚ .
(a) Montrer qu’il existe n ` 1 entiers en , en`1 , ¨ ¨ ¨ , e2n tels que, pour tout x P R, fn pxq “
pkq
(b) Montrer que pour tout k P N, fn p0q est entier.
2n
1 ÿ
ei xi .
n! i“n
pkq
(c) En remarquant que pour tout x P R, fn pxq “ fn p1 ´ xq, montrer que fn p1q est entier.
On veut prouver que ⇡ 2 est irrationnel. On va raisonner par l’absurde : supposons qu’il existe deux entiers u et
u
u
v tels que la fraction
soit irréductible (c’est-à-dire tels que pgcd pu, vq “ 1) tels que ⇡ 2 “ .
v
v
2) Pour tout n P N˚ , on définit la fonction Fn sur R par :
´
¯
@x P R, Fn pxq “ v n ⇡ 2n fn pxq ´ ⇡ 2n´2 fnp2q pxq ` ⇡ 2n´4 fnp4q pxq ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qn fnp2nq pxq .
(a) Montrer que pour tout n P N˚ , Fn p0q et Fn p1q sont des entiers.
(b) Pour tout n P N˚ , on note gn la fonction définie sur R par :
@x P R, gn pxq “ Fn1 pxq sinp⇡xq ´ ⇡Fn pxq cosp⇡xq.
Montrer que : @x P R, gn1 pxq “ ⇡ 2 un fn pxq sinp⇡xq.
(c) Établir que pour tout n P N˚ , An “ ⇡un
ª1
0
fn pxq sinp⇡xq dx est un entier.
Dans la suite, on note pwn qnPN la suite définie par : @n P N, wn “
3) (a) Montrer qu’il existe un entier naturel n0 tel que pour tout n P N, n • n0 , wn †
(b) Montrer que pour tout x P r0, 1s, 0 § fn pxq §
un
.
n!
1
.
2
1
.
n!
(c) En déduire que pour tout n P N, n • n0 , An Ps0, 1r, puis que ⇡ 2 est irrationnel. Conclure quant à l’irrationalité de ⇣p2q.
(d) Peut-on déduire de ce qui précède l’irrationalité de ⇡ ?