une correction

Université de Nice-Sophia Antipolis
Mathématiques
Master 1 Miage
2013–2014
Contrôle continu 20 Mai
Durée : 1 heure 30
Toutes les réponses doivent être justifiées. Le correcteur attachera de l’importance à la qualité de rédaction.
Une feuille manuscrite A4 autorisée - Calculatrice interdite
1
Défaut de fabrication (3 points)
On admet que la probabilité de défaut pour un objet fabriqué par une machine est égale à 0.1 et on
considère un lot de 10 objets fabriqués par cette machine. Soit X le nombre d’objets défectueux parmi
ceux-ci.
1. Comment s’appelle la loi suivie par X ?
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n “ 10 et p “ 0.1.
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2. Que valent ErXs et V arpXq ?
Son espérance est donc np “ 1 et sa variance npq “ 0.9
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3. Quelle est la probabilité que le lot comprenne au plus 1 objet défectueux (c’est à dire 0 ou 1) ?
On a P pX ď 1q “ P pX “ 0q ` P pX “ 1q “ p0.9q1 0 ` 10p0.1qp0.9q9 “„ 0.74 .
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4. Chaque objet a un coût de fabrication de 10 e et on estime à 25 e le coût d’un objet défectueux
(remplacement et frais annexes). Quel est alors le coût moyen d’un objet et quel doit être le prix de
vente pour que les bénéfices soient de 20% ?
Sur une fabrication de n pièces le nombre moyen de pièces défectueuses est de 0.1n , et donc le cout
de fabrication de ces n pièces est 25.p0.1qn ` 10p0.9qn “ 11.5n. Le cout moyen de fabrication est
donc 11.5e ce qui entraine qu’il faut vendre chaque pièce 11.5ˆ1.2 “ 13.8e pour avoir un bénéfice
de 20%.
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2 Probabilités discrètes (4 points)
Un automobiliste doit dévisser dans le brouillard les boulons d’une roue de sa voiture. Il utilise une
croix dont les quatre extrémités sont des clés de taille différentes indiscernables au toucher.
1. Il procède au hasard, sans méthode. Calculer la probabilité de faire trois essais pour trouver la bonne
clé. Généraliser à n essais. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d’essais. Quelle sont
son espérance et sa variance ?
1
k´1
La probabilité pour que le k-ième essai soit le bon est q k´1 p soit ici 34k puisque p “ 41 et q “ 34 .
Il s’agit donc de la loi géométrique de paramètre p “ 41 pour laquelle l’espérance est p1 “ 4 et la
variance pq2 “ 12.
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2. Il procède au hasard, en éliminant les extrémités déjà testées. Soit Y la variable aléatoire égale au
nombre d’essais. Quelle est sa loi de probabilité ? Calculer son espérance.
Dans ce cas la variable aléatoire Y peut prendre les valeurs 1, 2, 3 ou 4 , et on a P pY “ 1q “ 41 ,
P pY “ 2q “ 43 13 “ 14 P pY “ 3q “ 34 23 12 “ 14 P pY “ 4q “ 43 23 12 “ 14 .
On aurait pu trouver le résultat en remarquant que la probabilité que le kième essai soit le bon
revient à choisir une position parmi 4. Il s’agit donc de la loi uniforme sur t1, 2, 3, 4u et dans ce cas,
2
2
2
`42
d’espérance est 1`2`3`4
“ 52 et de variance est 1 `2 `3
´ p 52 q2 “ 54 .
4
4
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3 Loi continue 8 points
On considère une variable aléatoire X de densité f pxq “ cxp1 ´ xq si 0 ď x ď 1 et 0 ailleurs
1. Evaluer la constante c pour que f soit une densité de probabilité. Représenter f .
ş1
t“1
“ 1 ou encore cp1{2 ´ 1{3q “ 1 c’est à dire
On doit avoir 0 ctp1 ´ tqdt “ 1 soit rct2 {2 ´ ct3 {3st“0
c “ 6. On a donc f pxq “ 6xp1 ´ xq si 0 ď x ď 1 et 0 ailleurs.
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
..........................................................................................
2. Déterminer la fonction de répartition F de X. La représenter graphiquement.
On a alors F pxq “
şx“1
t“0
6tp1 ´ tqdt “ 3x2 ´ 2x3 si 0 ď x ď 1 et 0 si x ď 0 et F pxq “ 1 si x ě 1.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
..........................................................................................
3. Calculer P p1{4 ă X ă 3{4q.
On en déduit que P p1{4 ă X ă 3{4q “ F p3{4q ´ F p1{4q “
2
11
16
„ 0.69.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
..........................................................................................
4. Déterminer l’espérance et la variance de X.
şx“1
On a donc EpXq “ t“0 6t2 p1 ´ tqdt “ r2t3 ´ 3{2t4 st“1
t“0 “ 2 ´ 3{2 “ 1{2 “ .5.
şx“1 3
2
4
5 t“1
EpX q “ t“0 6t p1 ´ tqdt “ r3{2t ´ 6{5t st“0 “ 3{2 ´ 6{5 “ 3{10 “ .3
1
et V arpXq “ EpX 2 q ´ EpXq2 “ .3 ´ .52 “ .05 “ 20
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4 Loi uniforme 6 points
On suppose que la distance entre deux stations-service consécutives le long d’une autoroute est de 50
km. On appelle X la distance parcourue par une automobile qui tombe en panne entre deux stations-service
depuis le passage devant la première. X est donc comprise entre 0 et 50 km. On fait l’hypothèse que X suit
une loi uniforme sur r0, 50s.
1. La distance entre le lieu de la panne et la station-service la plus proche est une fonction de X, notée
gpXq. Donner l’expression de gpxq en fonction de la valeur x prise par la variable X, en prenant soin
de distinguer deux cas, selon que c’est la station service précédente dans le sens de la marche qui est
la plus proche ou la suivante.
gpxq “ mintx, 50 ´ xu soit, gpxq “ x si x ď 25, et “ 50 ´ x si x ě 50.
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2. Quelles sont l’espérance et la variance de gpXq ?
EpgpXqq “
“
“
“
1
50
1
50
ż 50
gpxq dx
0
ż 25
x dx `
0
ż 25
1
50
1
1
x dx `
50 0
50
2 252
25
“
.
50 2
2
EpgpXq2 q “
1
50
ż 50
ż 25
“
1
50
ż 25
“
1
50
ż 50
p50 ´ xq dx
25
ż 25
x dx
0
gpxq2 dx
0
0
0
3
1
50
ż 50
1
x2 dx `
50
ż 25
x2 dx `
p50 ´ xq2 dx
25
0
x2 dx
“
2 253
625
“
.
50 3
3
625
625
d’o V pXq “ EpgpXq2 q ´ EpgpXqq2 “ 625
3 ´ 4 “ 12 .
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3. Si une station-service demande un prix fixe de 40 euros plus 10 euros par km à parcourir pour
effectuer un dépannage, quel est le coût moyen d’un dépannage ? Quel est l’écart-type de ce coût ?
Soit Y la variable aléatoire coût en euros du dépannage. Alors Y “ 40
q “
a` 10gpXq, d’oûEpY
125
? „ 72.17
40 ` 10EpgpXqq “ 40 ` 10 25
“
165
euros,
σpY
q
“
10σpgpXqq
“
10
V
pgpXqq
“
2
3
euros.
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4