Fonctions

ZZZIVMHVDJDGLULQIR
Fonctions
Exercice 1
Dérivée d’une fonction composée
Calculer la dérivée des fonctions f suivantes définies sur R :
f pxq p 2x 1q2
f pxq p3x 1q3
f pxq px2 2q2
1. En développant f pxq.
2. En utilisant le théorème de la dérivée des fonctions composées.
Exercice 2
Calculs de dérivées
Calculer la dérivée de la fonction f en précisant son ensemble de définition et celui de sa dérivée.
f pxq p2x2 x 1q3
f pxq p5x 2q2 px2 3x 1q2
f pxq xpx 1qpx 2qpx 3q
1
f px q 2
x
1
3
f pxq x x3
4
f pxq 2x3 x
x2
Exercice 3
Dérivées successives
Calculer les dérivées d’ordre 1 à n , n P N , de f sur l’intervalle I en utilisant éventuellement un raisonnement
par récurrence.
f pxq x4 6x2
1
f pxq x2
f pxq cosp3xq
5
I=R
I = ]2 ; +8[
I=R
Exercice 4
Tangentes
Pour chacune des fonctions suivantes, écrire une équation de la tangente au point A d’abscisse a de la
représentation graphique de la fonction f .
f pxq 3x2 5x
pour a = -1, a = 2 et a = 3
f pxq tan x
pour a = -4, a = 1 et a = 2
π
π
pour a = 0, a =
et a =
6
4
f pxq x 1
1
1
x 2
Exercice 5
Asymptotes
Pour chacune des fonctions suivantes, écrire des équations des asymptotes parallèles aux axes.
2x 1
f pxq x
5x2 2x 1
f pxq x2 4
3x 1
f pxq x 2
2x 1
f pxq 2
x 3x 2
x2 x 3
f pxq 2
x
x 1
2x3 3x
f pxq 3
x x2
1
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Exercice 6
Limites
Calculer
a les limites suivantes en justifiant les résultats.
2x2 x 3
lim
x
Ñ
8
a
2x2 x 3
Ñ
8
lim ptan xq2
xÑ π
2
?
x
lim
lim cos
x
Ñ0
x
Ñ 8
x
lim x a
x3 1
Exercice 7
Périodicité
Trouver la périodede chacune des fonctions suivantes :
π
f pxq cos x
6
x
f pxq sin
3
x
f pxq sin
cos x
2
f pxq tan p2πxq
Exercice 8
Symétries
Un repère orthogonal du plan est donné.
Pour chacun des cas suivants, montrer que la droite D est axe de symétrie de la représentation graphique de
f.
f pxq x2 2x 5
x2 2x 2
f pxq 2x2 4x 3
f pxq cos4 x 2 cos2 x
D : x1
D : x 1
π
D : x
2
Exercice 9
Equations trigonométriques
Dans chaque équation, l’inconnue x est une mesure d’angle en radians.
Résoudre ces équations dans R et représenter leurs solutions par des points du cercle trigonométrique.
1
cos x 2 π
2 cos x
1
?6
2
sin x 2 ?
π
2 sin 3x
3
4
cos 2x cos 3x
cos x sin 2x
Exercice 10
Inéquations trigonométriques
Résoudre chacune des inéquations suivantes dans l’intervalle r0; 2π r.
La résolution sera fondée sur l’observation du cercle trigonométrique.
1
sin x 2?
2 cos x ?2 0
3
cos x ¡ 2
sin x cos x 0
2
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Correction
Exercice 1
f pxq p2x 1q2 1. Pour tout x réel, on a :
f pxq p2xq2 4x 1
f pxq 4x2 4x 1
f est dérivable sur R, et pour tout x réel, on a : f 1 pxq 8x 4
2. f est la composée de la fonction g définie sur R par g pxq 2x 1 et de la fonction carrée h définie sur
R par hpxq x2 .
On a alors pour tout x réel : f pxq h g pxq.
Or, f 1 pxq g 1 pxq h1 g pxq.
Pour tout x réel, g 1 pxq 2 et h1 pxq 2x
Donc : pour tout x réel, f 1 pxq 2 2p2x 1q 4p2x 1q 8x 4
f pxq p3x 1q3 1. Pour tout x réel, on a : f pxq 27x3 27x2 9x 1
f est dérivable sur R, et pour tout x réel, on a :
f 1 pxq 27 3x2 27 2x 9
f 1 pxq 81x2 54x 9
2. f est la composée de la fonction g définie sur R par g(x ) = 3x - 1 et de la fonction cube h définie sur R
par h(x ) = x 3.
On a alors pour tout x réel : f pxq h g pxq.
Or, f 1 pxq g 1 pxq h1 g pxq.
Pour tout x réel, g 1 pxq 3 et h1 pxq 3x2
Donc : pour tout x réel, f 1 pxq 3 3p3x 1q2 9p3x 1q2
(en développant on retrouve l’expression obtenue au (1))
f pxq px2 2q2 1. Pour tout x réel, on a : f pxq x4 4x2 4
f est dérivable sur R, et pour tout x réel, on a :
f 1 pxq 4x3 4 2x
f 1 pxq 4x3 8x
2. f est la composée de la fonction g définie sur R par g(x ) = -x 2 + 2 et de la fonction carré h définie R par
h(x ) = x 2.
On a alors pour tout x réel : f pxq h g pxq.
Or, f 1 pxq g 1 pxq h1 g pxq.
Pour tout x réel, g 1 pxq 2x et h1 pxq 2x
Donc : pour tout x réel, f 1 pxq 2x 2px2 2q 4xpx2 2q
(en développant on retrouve l’expression obtenue au (1))
Exercice 2
Remarque : il est préférable d’écrire l’expression de la dérivée de f sous forme factorisée (il est alors plus
simple d’étudier son signe par la suite).
f pxq p2x2 x 1q3 f est définie sur R et dérivable sur R.
Pour tout réel x, on a : f 1 pxq 3p4x 1qp2x2 x 1q2 .
f pxq p5x 2q2 px2 3x 1q2 f est définie sur R et dérivable sur R.
f est le produit de deux fonctions u et v définies sur R par u(x ) = (5x - 2)2 et v(x ) = (x2 + 3x - 1)2.
Or, f ’ = u’v + uv’ avec, pour tout réel x, u’(x ) = 10(5x - 2) et v’(x ) = 2(2x + 3)(x 2 + 3x - 1).
Pour tout réel x, on a alors :
f ’(x ) = 10(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)2 + (5x - 2)2 2(2x +3)(x 2 + 3x - 1)
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)[5(x 2 + 3x - 1) + (2x + 3)(5x - 2)]
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)(5x 2 + 15x - 5 + 10x 2 - 4x + 15x - 6)
f ’(x ) = 2(5x - 2)(x 2 + 3x - 1)(15x 2 + 26x - 11)
f pxq xpx 1qpx 2qpx 3qf est définie sur R et dérivable sur R.
Développons f : pour tout réel x, on a f pxq x4 6x3 11x2 6x.
On a alors pout tout réel x, f 1 pxq 4x3 18x2 22x 6.
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f pxq x12 f est définie sur R{0 et dérivable sur R .
*
f est la composée de la fonction carrée et de la fonction inverse. Donc, pour tout réel x, on a :
1
f 1 pxq 2x 4
2 x
f 1 pxq 3
x
f pxq x1 x33 f est définie et dérivable sur R*, et pour tout réel x, on a :
1 3 3x2 1
f 1 pxq x2
x6
1
9
f 1 pxq 2 4
x
x
x2 9
1
f pxq x4
p
x 3qpx 3q
1
f pxq x4
(Cette dernière expression sera utilisée pour étudier le sens de variations de la fonction f ).
f pxq 2x3 x x42 f est définie et dérivable sur * et pour tout réel x, on a :
4 2x
f 1 pxq 2 3x2 1
x4
f 1 pxq 6x2 1 x83
Exercice 3
f (x ) = x
4
- 6x 2 + 5f est définie et dérivable sur R et on a pour tout réel x : f ’(x ) = 4x 3 - 12x.
f ’ est dérivable sur R et pour tout réel x, on a : f ”(x ) = 12x 2 - 12.
f ” est dérivable sur R et pour tout réel x, on a : f ”’(x ) = 24x.
f ”’ est dérivable sur R et pour tout réel x, on a : f (4)(x) = 24.
Pour tout n ¥ 5, f(n)(x) = 0.
f pxq x 1 2 I = ]2 ; + [. f est dérivable sur I et pour tout réel x, on a :
1 , dérivable sur I, et pour tout réel x, on a :
f 1 pxq px 2q2
1 2px 2q .
f 2 pxq px 2q4
p1qn n! ”.
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, on a ”f pnq pxq px 2qn 1
La proposition est initialisée (vraie pour n = 1 et pour , = 2).
p1qk k! .
Suppsons la proposition vraie au rang k : f pkq pxq px 2qk 1
(k)
La fonction f est dérivable sur I, et pour tout réel x, on a :
1
1 pk 1q .
f pkq pxq f pk 1q pxq p1qk k! px 2qk 2
k 1
p1q pk 1q! .
Soit f pk 1q pxq px 2qk 2
La proposition est donc héréditaire. On a donc :
p1qn n! .
pour tout entier naturel n, f pnq pxq px 2qn 1
f pxq cosp3xq
f est dérivable sur R, comme composée des fonctions g et h définies sur R par g pxq
Pour tout réel x, on a :
f 1 pxq 3 sinp3xq 3 cos 3x π2
π
2π
2
2
f pxq 3 p3q sin 3x
3 cos 3x 2
2 2π
3π
3
2
3
f pxq 3 p3q sin 3x
3 cos 3x 2
2
nπ On montrera par récurrence que : f pnq pxq 3n cos 3x
2
4
3x et hpxq cos x.
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Exercice 4
Rappel :
La tangente en x a de la fonction f a pour équation : y
f (x ) = 3x
f 1 paqpx aq
f paq.
2
- 5x + 1f est définie et dérivable sur R, et pour tout réel x, on a : f ’(x ) = 6x - 5.
Equation de la tangente en a = -1 :
f (-1) = 3 (-1)2 - 5 (-1) + 1 = 9
et
f ’(-1) = 6 (-1) - 5 = -11
Une équation de la tangente en a = -1 est y = -11(x + 1) + 9 = -11x - 2
Equation de la tangente en a = 2 :
f (2) = 3 22 - 5 2 + 1 = 3
et
f ’(2) = 6 2 - 5 = 7
Une équation de la tangente en a = 2 est y = 7(x - 2) + 3 = 7x - 11
Equation de la tangente en a = 3 :
f (3) = 3 32 - 5 3 + 1 = 13
et
f ’(3) = 6 3 - 5 = 13
Une équation de la tangente en a = 3 est y = 13(x - 3) + 13 = 13x - 26
f pxq x 1 x 1 2 f est définie et dérivable sur R{2, et pour tout réel x de R{2, on a : f 1 pxq 1 px 12q2 .
Equation de la tangente en a = -4 :
f (-4) = 4 1 41 2 11
et
f ’(-4) = 1 p41 2q2 34
2
5
3
Une équation de la tangente en a = -4 est y = 34 px 4q 11
4x 2
2
Equation de la tangente en a = 1 :
f (1) = 1 1
et
f ’(1) = 1 p1 12q2 89
Une équation de la tangente en a = 1 est y =
13
px 1q
1
1 2
8
9
1
3
89 x 59
Equation de la tangente en a = 2 :
f (2) = 2 1 2 1 2 54
et
f ’(2) = 1 p2 12q2 15
16
5
15
5
Une équation de la tangente en a = 2 est y = 15
4 16 x 8
16px 2q
π
f pxq tanpxq f est définie et dérivable sur 0; 2 et pour tout réel x de cet intervalle, on a : f 1 pxq
1 tan2 pxq
Equation de la tangente en a = 0 :
f p0q = tan 0 = 0
et
f 1 p0q = 1 + tan2 0 = 1
Une équation de la tangente en a = 0 est y = 1 (x - 0) + 0 = x
Equation de la tangente en a =
f1
π
6
1
tan
2
π
6
1
π
:
? 62
3
3
Une équation de la tangente en a =
43
π
6
et
est y =
f
4
3
π
6
x
π
6
tan
en a = π4 :
de la tangente
Equation
π
2 π
1
f π4 tan π4 1
et
f 4 1 tan 4 2
Une équation de la tangente en a = π4 est y = 2 x π4
?3
3
π
6
?3
3
1 2x
?
3 3 2π
9
4
3x
2 π
2
Exercice 5
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5
Rappel :
La courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation x
8 .
lim f pxq x
Ñℓ
La courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d’équation y
lim f pxq ℓ.
x
ℓ si
ℓ si
8
Ñ
f pxq 2xx 1 Df = R{0
Etudions la limite de la fonction f en 0 :
1
8, donc : xÑlim
f pxq 8
On a : lim p2x 1q 1 et lim
0x¡0
xÑ0x¡0 x
xÑ0
1
f pxq 8
8, donc : xÑlim
On a : lim
0x 0
xÑ0x 0 x
D’où : la courbe représentative de ma fonction f admet une asymptote verticale d’équation x = 0.
Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
q 2 1
xp2
Pour tout x de Df , on a : f pxq 2xx 1 x
x
1
0, donc : xÑlim8 f pxq 2
Or, lim 2 2 et lim
xÑ 8 x
xÑ 8
1
lim f pxq 2D’où : la droite d’équation y = 2 est asymptote
0, donc : xÑ8
De même, lim 2 2 et lim
xÑ8
xÑ8 x
1
x
horizontale à la courbe représentative de la fonction f en l’infini.
f pxq 5x2x2 2x4 1 Le dénominateur s’annule en x = -2 et x = 2, donc : Df = R{-2 ; 2
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
lim
f pxq 8
lim px2 4q 0 , donc :
On a : lim p5x2 2x 1q 25 et
xÑ2x¡2
Ñ2
lim
f pxq x2 4q 0 , donc
p
xÑ2x 2
xÑ2x 2
x
Et :
x
8
lim
Ñ2x¡2
D’où : la droite d’équation x = -2 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f en
l’infini.
Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : lim p5x2 2x 1q 17 et lim px2 4q 0
xÑ2x¡2
xÑ2
Et : lim px2 4q 0 , donc lim f pxq 8.
xÑ2x 2
xÑ2x 2
, donc :
x
lim
Ñ2x¡2
f pxq 8
D’où : la droite d’équation x = 2 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f en l’infini.
Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2x 1
x xp5p1 q q 51
Pour tout x de Df , on a : f pxq 5x x
4
4
1
2
Or, lim 5 5 et xÑlim8 1 x2 1, donc : xÑlim8 f pxq 5
xÑ 8
x x2
2
2
2
2
x
2
2
x
1
x2
4
x2
1
x2
4
2
x
4
1
2
5 et lim 1 2 1, donc : lim f pxq 5
2
xÑ8
xÑ8
xÑ8
x
x x
D’où : la droite d’équation y = 5 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq 3xx 21 Le dénominateur s’annule en x = -2, donc Df = R{-2
Etudions la limite de la fonction f en -2 :
lim
f pxq 8
lim px 2q 0 , donc :
On a : lim p3x 1q 7 et
De même, lim
5
xÑ2x¡2
Ñ2
lim
f pxq x 2q 0 , donc :
p
xÑ2x 2
xÑ2x 2
x
Et,
lim
8
x
Ñ2x¡2
D’où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation x = -2.
Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
xp3 q
31
Pour tout x de Df , on a : f pxq x 1
q
p
2
1
Or, lim 3 3 et xÑlim8 1 x 1, donc : xÑlim8 f pxq 3
xÑ 8
x
1
x
2
x
1
x
2
x
6
ZZZIVMHVDJDGLULQIR
2
lim f pxq 3
1, donc : xÑ8
x
D’où : la droite d’équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq x22x3x1 2 Le dénominateur s’annule en x = 1 et x = 2, donc Df = R{1 ; 2
Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : lim p2x 1q 1 et lim px2 3x 2q 0 , donc : lim f pxq 8
Ñ8 3 x
1
De même, lim
x
lim
3 et xÑ8
1
xÑ1x¡1
Ñ1
p
x2 3x 2q 0 , donc : lim f pxq xÑ1x 1
xÑ1x 1
x
Et :
lim
x
8
Ñ1x¡1
D’où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation x = 1.
Etudions la limite de la fonction f en 2 :
On a : lim p2x 1q 3 et lim px2 3x 2q 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ2
xÑ2x¡2
xÑ2x¡2
Et : lim px2 3x 2q 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ2x 2
xÑ2x 2
D’où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation x = 2.
Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2
Pour tout x de Df , on a : f pxq x3
1
2
Or, lim 2 2 et xÑlim8 x 3 x 8, donc : xÑlim8 f pxq 0
xÑ 8
x
1
x
2
x
2
1
2
lim x 3
lim f pxq 0
2 et xÑ8
8, donc : xÑ8
xÑ8
x
x
D’où : la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq xx22 xx 31 Le dénominateur ne s’annule jamais, donc Df = R
Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
De même, lim
Pour tout x de Df , on a : f pxq x1
1
1
x
3
x2
1
x2
1
3
1
1
1 et lim 1
1, donc : xÑlim8 f pxq 1
2
xÑ 8
xÑ 8
x x
x x2
1
3
1
1
1
et
lim
1
lim f pxq 1
De même, lim 1 1, donc : xÑ8
xÑ8
xÑ8
x x2
x x2
D’où : la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en
l’infini.
f pxq 2xx33x3x2 Le dénominateur s’annule en x = 0 et x = 1, donc Df = R{0 ; 1
Etudions la limite de la fonction f en2 0 : 2
3q 2x 3
Pour tout x de Df , on a : f pxq xxpp2x
x2 xq x2 x
On a : lim p2x2 3q 3 et lim px2 xq 0 , donc : lim f pxq 8
Or, lim
1
1
Ñ0
xÑ0x¡0
p
x2 xq 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ0x 0
xÑ0x 0
x
Et :
lim
x
Ñ0x¡0
D’où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation x = 0.
Etudions la limite de la fonction f en 1 :
On a : lim p2x3 3xq 1 et lim px3 x2 q 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ1x¡1
xÑ1x¡1
xÑ1
Et : lim px3 x2 q 0 , donc : lim f pxq 8
xÑ1x 1
xÑ1x 1
D’où : la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation x = 1.
Etudions la limite de la fonction f en l’infini :
2
Pour tout x de Df , on a : f pxq 1
3
1
Or, lim 2 2 2 et lim 1 1, donc : xÑlim8 f pxq 2
xÑ 8
xÑ 8
x
x
3
x2
1
x
2
3
1
lim 1 lim f pxq 2
2 et xÑ8
1, donc : xÑ8
xÑ8
x2
x
D’où : la droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f en
l’infini.
De même, lim
Exercice 6
7
ZZZIVMHVDJDGLULQIR
On a : 2x2 x 3 x2 2 x1 x3 .
1
3
lim 2 0.
Or, lim
xÑ 8 x
xÑ 8 x
Donc lim p2x2 x 3q 8.
xÑ 8
a
?
On sait que lim
X 8, donc : lim
2x2 x
xÑ 8
XÑ 8
2
De même, xÑ8
lim
a
2x2 x
3
3
8.
8.
sin pxq
Pour tout réel x, on a tan2 pxq cos
pxq .
2 π
2 π
Or, sin 2 1 et cos 2 0, donc lim
x Ñ
?
cos p xq cos 0 1
2
2
π
2
tan2 pxq 8.
?
C’est
il faut donc
factoriser x x3 1 :
b
b
? 3une forme indéterminée,
x x 1 x x2 x x1 x |x| x x1
b
b
?
Or x ¡ 0, donc : x x3 1 x x x x1 x 1 x x1
2
Or, lim
x
1
Ñ 8 x2
0, donc xÑlim8
3
Ñ 8 x x 1
D’où : lim
x
a
2
x
1
x2
2
2
8
8
Exercice 7
Rappel :
La fonction f est T-périodique si pour tout x de son ensemble de définition, on a : f pT
f pxq cos x π6 La fonction cosinus est 2π-périodique, donc f
donc sin pX
f pxq sinp x3 qLafonction sinus est 2π-périodique,
Donc : sin x3 2π sin x 36π sin x3 .
xq f pxq
également.
2π q sin X.
D’où : f est 6π-périodique.
donc cos px 2π q cospx 4π q cos x.
f pxq sin x2 cos xLa fonction cosinus est 2π-périodique,
La fonction sinus est 2π-périodique, donc sin x2 est 4π-périodique.
D’où : f est 4π-périodique.
f pxq tanp2πxqla fonction tangente est π-périodique.
sin x
xq sin x ; cos pπ xq cos x, donc tan pπ xq tan x .
En effet : tan x cos
x et sin pπ
Donc :
tanp2πx π q tanp2πxq
tan 2π x 12 tanp2πxq
On en conclut que f est périodique de période 12 .
Exercice 8
Rappel :
La droite d’équation x a est un axe de symétrie de la courbe représentative de f si :
pour tout x a h de Df , a h est dans Df
et f pa hq f pa hq.
f (x ) = x
2
- 2x + 5Pour tout réel x, on a :
8
ZZZIVMHVDJDGLULQIR
f (1 - x ) = (1 - x )2 - 2(1 - x ) + 5 = x 2 + 4
et f (1 + x ) = (1 + x )2 - 2(1 + x ) + 5 = x 2 + 4
Comme f (1 + x ) = f (1 - x ), alors la droite d’équation x = 1 est un axe de symétrie de la représentation
graphique de la fonction f.
f pxq 2xx22 2x4x23 Pour tout réel x, on a :
p1xq2 2p1xq2 x2 3
p1xq22 4p1xq 3 2x2 1
2
x2 3
et f p1 xq 2ppxx11qq2 24ppxx11q
q 3 2x2 1
f p1 xq 2
Comme f (-1 + x ) = f(-1 - x ), alors la droite d’équation x = -1 est un axe de symétrie de la représentation
graphique de f.
f (x ) =cos4(x ) - 2cos2(x
)Pour tout réel x, on a :
f π2 x cos4 π2 x 2 cos2 π2 x
Or, cos π2 x sinpxq, donc : f π2 x sin4 x 2 sin2 x
Et : f π2 x cos4 π2 x 2 cos2 π2 x Or, cos π2 x sinpxq, donc f π2 x sin4 x 2 sin2 x
Comme f π2 x
graphique de f.
f
π
2
x , alors la droite d’équation x π
2
est un axe de symétrie de la représentation
Exercice 9
Rappel :
cos a = cos b ðñ a = b + 2k ou a = -b + 2k
- b + 2k
sin a = sin b ðñ a = b + 2k ou a =
cos x 12 Comme 12 cos π3 , alors l’équation équivaut à : cos x cos
2kπ u où k P Z
D’où : S t π3 2kπ; 5π
3
2 cos x π6 1cospx π6 q 12
ðñ x π6 π3 2kπ ou x π6 π3 2kπk P Z
ðñ x π6 2kπ ou x 2π 2kπk P Z
2kπ u où k P Z.
D’où : S t π6 2kπ; 3π
2
9
π
3
.
ZZZIVMHVDJDGLULQIR
?
?
sin x 2 2 Comme sinp 4π q 2 2 , alors :
sin x sinp 4π q ðñ x π4 2kπ ou x π 4π
ðñ x 7π4 2kπ ou x 5π4 2kπ où k P Z
D’où : S t 5π
2kπ; 7π
2kπ u où k P Z.
4
4
?
?
2 sinp3x π4 q 3sinp3x π4 q 23 sinp π3 q
ðñ 3x π4 π3 2kπ ou 3x π4 π π3
2kπ
ou x 5π
ðñ x 36π 2kπ
3
36
3 où k P Z
π
2kπ
2kπ
5π
D’où : S t 36
3 ; p 36
3 u où k P Z
2kπ où k
2kπ où k
cos(2x ) = cos(3x )cosp2xq cosp3xq ðñ 2x 3x
ðñ x 2kπ ou x 2kπ
5 où k P Z
u
où
k
P
Z
D’où : S t 2kπ
5
cospxq sinp2xq sinp2xq 2 sinpxq cospxq, ainsi :
cospxq sinp2xq ðñ cospxqr2 sinpxq 1s 0
ðñ cospxq 0 ou sinpxq 12
cospxq 0 ðñ x π2 kπ où k P Z
sinpxq 12 ðñ x π6 2kπ ou x 5π
2kπ où k
6
2kπ,
k
P
Z u.
D’où : S t π2 kπ; π6 2kπ; 5π
6
2kπ
PZ
PZ
ou
2x 3x
PZ
1 0
2kπ où k
PZ
ZZZIVMHVDJDGLULQIR
Exercice 10
sin x 12 On trace la droite d’équation y = 1/2 et le cercle trigonométrique.
les abscisses des points A et B sont les solutions sur r0; 2π s de l’équation sin x 12 .
Les solutions de l’inéquation sin x 12 sont les abscisses des points situés sur le demi-arc inférieur d’extrémités
A et B.
D’où : S 0; π6 Y 5π
6 ; 2π r .
2 cos x ?
?
2 0Cette inéquation est équivalente à cos x 22 .
?
Traçons la droite d’équation x 22 et notons A et B les points d’intersection de cette droite avec le cercle
trigonométrique.
D’où : S π4 ; 7π
? 4
?
cos x ¡ 2 3 Même démarche : traçons la droite d’équation x 23 .
ZZZIVMHVDJDGLULQIR
1 1
D’où : S
r0, 5π6 s Y r 7π6 ; 2πr
sinpxq cospxq 01ère méthode : Rappel : sin(2x ) = 2sin(x ) cos(x ).
L’inéquation est donc équivalente à : sin(2x ) 0.
Il faut dans un premier temps résoudre sin X 0 : S∞ rk; 2kπ r, où kP Z.
kπ; kπ r où k P Z.
Alors 2x P rkπ; 2kπ r, ce qui équivaut à x P r kπ
2
Les solutions dans [0 ; 2π[ de cette inéquation sont donc : S r π2 ; π rYr 3π
2 ; 2π r.
2ème méthode : pour que le produit sin(x ) cos(x ) soit négatif il faut que sin(x ) et cos(x ) soit de signe différent,
il y a donc deux quarts de cercle et on retrouve le même ensemble de solutions.
12