Devoir à la maison no 2

Université Grenoble I
Topologie L351A
Devoir à la maison no 2
À rendre avant le 1er décembre 2010
Exercice . Soit (X, d) un espace métrique compact et f : X → X une application vérifiant
∀ (x, y) ∈ X 2 ,
x 6= y =⇒ d(f (x), f (y)) < d(x, y).
On veut montrer que f possède un point fixe : il existe x ∈ X tel que f (x) = x.
1. Soit g : (X, d) → (R, |.|) défini par g(x) = d(x, f (x)). Montrer que g est continue.
2. En observant que inf x∈X {g(x)} est un minimum, atteint en x0 , montrer que x0 est un point
fixe de f .
Problème . ( 1 ) Sous-groupes compacts de GLn (R).
A. Théorème du point fixe de Kakutani. Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit K un compact convexe non vide de E. Soit G un sous-groupe compact de GL(E) tel
que, pour tout g ∈ G, on a g(K) ⊆ K. On veut montrer qu’il existe x ∈ K tel que, pour tout
g ∈ G, g(x) = x.
1) Soit u ∈ L(E) tel que u(K) ⊆ K. Soit x ∈ K et
xn :=
1
x + u(x) + u2 (x) + · · · + un (x)
n+1
(ui désigne la composée u ◦ · · · ◦ u i fois). Montrer que xn ∈ K.
2) Montrer que lim (xn+1 − xn ) = 0 et lim (u(xn ) − xn ) = 0.
n→+∞
n→+∞
3) Montrer que si a est une valeur d’adhérence de (xn )n∈N alors u(a) = a. En déduire que
u possède un point fixe.
4)
i) Montrer qu’il existe sur E une norme euclidienne (i.e. qui provient d’un produit
scalaire).
ii) Soit k.k une telle norme sur E. Pour x ∈ E, soit
kxkG := sup {kg(x)k, g ∈ G}.
Montrer que, pour tout x ∈ E, on a kxkG ∈ R et que k.kG définit une norme sur E.
iii) Soit x, y ∈ E. Montrer que si kx + ykG = kxkG + kykG alors il existe λ ≥ 0 tel que
y = λx ou x = λy. En déduire que si x1 , . . . , xn ∈ E vérifient
kx1 + · · · + xn kG = kx1 kG + · · · + kxn kG
alors il existe x ∈ {x1 , . . . , xn } et λ1 , . . . , λn ≥ 0 tels que xi = λi x.
iv) Montrer que tous les éléments de G sont des isométries pour k.kG .
5) Pour démontrer le théorème de Kakutani, on raisonne par l’absurde. Si g ∈ G, on pose
Ωg :=S {x ∈ K ; g(x) 6= x}. Montrer qu’existent r ∈ N∗ et g1 , . . . , gr ∈ G tels que
r
K = i=1 Ωgi (on montrera que Ωg est un ouvert de K).
Pr
6) Soit u := 1r i=1 gi . Montrer qu’il existe k ∈ K tel que u(k) = k.
7) Déduire de 4-iii) et 4-iv) que, pour tout i ∈ {1, . . . , r}, on a gi (k) = k puis aboutir à une
contradiction.
B. Théorème de Carathéodory. Soit C une partie non vide de Rn . On désigne par conv(C)
l’enveloppe convexe de C, i.e. le plus petit convexe (pour l’inclusion) de Rn contenant C.
1) Justifier l’existence de conv(C).
1. Dans ce problème, les parties ne sont pas indépendantes entre elles.
Pp
∗
2) Montrer que conv(C) est l’ensemble des éléments
Pp de la forme x = i=1 λi ci avec p ∈ N ,
c1 , . . . , cp ∈ C et λ1 , . . . , λp ≥ 0 vérifiant i=1 λi = 1 (on dit que x est combinaison
linéaire convexe des ci ).
3) Soit p ≥ n + 2 et c1 , . . . , cp ∈ C. En observant que la famille {c2 − c1 , . . . , cp − c1 }
+ p
est
P liée surPR, montrer qu’il
P existe I ⊆
P{1, . . . , p} et (θi )1≤i≤p ∈ (R ) \ {0} tels que
i∈I θi =
j6∈I θj 6= 0 et
i∈I θi ci =
j6∈I θj cj .
4) Soit x ∈ conv(C) écrit avec des ci comme dans B-2. Montrer que si p ≥ n + 2 alors x
est combinaison linéaire convexe d’au plus p − 1 des ci .
5) En déduire le théorème de Carathéodory : tout point de conv(C) est combinaison linéaire
convexe d’au plus n + 1 points de C.
6) Montrer alors que si C est une partie compacte de Rn il en est de même pour conv(C).
7) Montrer que si C est une partie compacte non vide d’un espace de Banach E alors
l’adhérence conv(C) est compacte dans E (on pourra montrer que conv(C) est précompact).
C. On veut montrer qu’un sous-groupe compact G de GLn (R) est un sous-groupe du groupe des
isométries On (R) à conjugaison près : il existe p ∈ GLn (R) tel que pGp−1 ⊆ On (R).
1) Montrer que On (R) := {P ∈ GLn (R) ; P −1 = t P } est un sous-groupe compact de
GLn (R).
2) Soit q la forme quadratique provenant du produit scalaire usuel sur Rn :
 
x1
 .. 
∀ x =  .  ∈ Rn , q(x) = x21 + · · · + x2n .
xn
Soit P ∈ GLn (R). Montrer que P ∈ On (R) si et seulement si P est une isométrie pour
q (i.e. ∀ x ∈ Rn , q(P x) = q(x)).
3) Soit E l’espace vectoriel des formes quadratiques sur Rn . Soit E + la partie de E formée
des formes quadratiques définies positives. Montrer que E + est un ouvert de E et que
E + = {q ◦ A ; A ∈ GLn (R)}.
4) Soit G un sous-groupe compact de GLn (R). Soit K l’enveloppe convexe de C := {q ◦ g ∈
E ; g ∈ G} dans E. Prouver que K ⊆ E + et que K est compact (on utilisera B-5).
5) Pour g ∈ G, soit θg : E → E défini par θg (Q) = Q ◦ g pour Q ∈ E. Justifier le fait que
θg ∈ GL(E).
6) Soit G := {θg ∈ GL(E) ; g ∈ G}. Montrer que G est un sous-groupe compact de GL(E).
7) Montrer que, pour tout e ∈ G, on a e(K) ⊆ K.
8) Déduire du théorème de Kakutani l’existence de Q ∈ K tel que, pour tout g ∈ G,
Q ◦ g = Q.
9) Conclure en utilisant C-3).