TD n˚3 : Optimisation avec ou sans contrainte d`égalité

TD n˚3 : Optimisation avec ou sans contrainte d’égalité
Exercice 1 : Théorème des fonctions implicites
1. Montrer que la relation vérifiée permet de définir implicitement y en fonction de x au voisinage
du point (x0 , y0 ) indiqué, et écrire le développement limité à l’ordre 1 autour de x0 de la fonction
x 7→ y(x) :
(a) x4 + y 3 − 2x2 y − 1 = 0 au voisinage de (0, 1).
(b) sin y + y + ex = 1 au voisinage de (0, 0).
(c) y 3 + (x2 + 1)y + x2 = 0 au voisinage de (0, 0).
2. Soit f : R3 → R2 définie par f (x, y, z) = (x2 − y 2 + z 2 − 1, xyz − 1). Soit (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 tel que
f (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0). Montrer qu’il existe un intervalle I contenant x0 et une fonction ϕ : I → R2
de classe C 1 telle que ϕ(x0 ) = (y0 , z0 ) et f (x, ϕ(x)) = (0, 0) pour tout x ∈ I.
3. On considère le système d’équations :
(
x2 + y 2 − 2z 2 = 0,
x2 + 2y 2 + z 2 = 4.
Montrer que, pour x proche de 0, il existe des fonctions strictement positives y(x) et z(x) telles
que (x, y(x), z(x)) soit solution du système. On déterminera y 0 (x) en fonction de x et y, ainsi que
z 0 (x) en fonction de x et z.
∂f
4. Si f : R2 → R est une fonction de classe C 1 telle que f (0, 0) = 0, ∂f
∂x (0, 0) 6= −1 et ∂y (0, 0) 6= 0,
montrer que la relation f (f (x, y), y) = 0 définit implicitement y en fonction de x au voisinage du
point (0, 0).
Exercice 2 : Optimisons !
Déterminer les extrema des fonctions suivantes ou les grandeurs indiquées.
1. f (x, y) = 3x3 + xy 2 − xy.
2. f (x, y) = x4 + y 8 .
3. f (x, y, z) = (x − 2)2 + y 2 + z 2 .
4. f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 + 3xyz.
5. f (x, y, z) = (x − 2)2 + y 2 + z 2 sous la contrainte x2 + 2y 2 + 3z 2 = 1.
6. Dessin exigé : f (x, y) = 3x − y sous la contrainte x2 + y 2 = 5.
7. Dessin exigé : f (x, y) = x2 + y 2 sous la contrainte x + 2y = 6.
8. Dessin exigé : f (x, y) = (xy)a sous la contrainte 2x + 3y = 12, où a > 0.
Exercice 3 : Emballage économique
Quelle est la surface minimale d’un parallélépipède rectangle contenant un volume de 12m3 ?
1
Exercice 4 : Convexité et fonction entropie
Si U est un ouvert convexe de Rd et f : U → R est une fonction définie sur U , on dit que f est convexe
si :
∀t ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ U, f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).
1. Si f est une fonction convexe et de classe C 1 , montrer, en considérant l’application convexe g(t) =
f ((1 − t)x + ty), que :
f (y) − f (x) ≥ df (x)(y − x) = ∇f (x) · (y − x) ∀x, y ∈ U.
En déduire qu’une application convexe de classe C 1 admet un minimum global en x si et seulement
si x est un point critique.
2. On donne des réels a1 , . . . , an , a, avec n ≥ 3, les ak n’étant pas tous égaux entre eux. La suite de
l’exercice consiste à déterminer le maximum de la fonction H définie par :
H(p) = −
n
X
pk ln pk
k=1
sur l’espace E, qu’on suppose non vide, défini par :
(
)
n
n
X
X
? n
E = (p1 , . . . pn ) ∈ (R+ ) |
pk = 1 et
ak pk = a .
k=1
k=1
(a) Montrer que −H est une application convexe sur (R?+ )n , et donc sur l’ensemble convexe E.
(b) Montrer que la fonction :
f (x) =
n
X
(ak − a)e(ak −a)x , x ∈ R,
k=1
est une bijection strictement croissante de R sur R (on utilisera le fait que certains ak sont
strictement supérieurs à a et d’autres strictement inférieurs à a).
(c) Justifier l’utilisation du théorème des extrema liés. Exprimer les multiplicateurs de Lagrange
en fonction de f −1 (0) et des ak .
(d) Conclure.
Exercice 5 : Théorème spectral
Soit A ∈ Mn (R) une matrice symétrique, et F : Rn → R l’application définie par :
F (x) = t xAx,
appelée forme quadratique associée à la matrice A. On note également G : Rn → R le carré de la norme
euclidienne, i.e.
n
X
2
G(x) = kxk2 =
x2i .
i=1
Enfin, on note S la sphère unité associée à cette norme :
S = {x ∈ Rn , kxk2 = 1} = {x ∈ Rn , G(x) = 1} .
1. Calculer ∇F (x) et ∇G(x) pour x ∈ Rn .
2. Montrer par un argument de compacité que F admet un maximum sur S.
3. En déduire que A admet une valeur propre réelle :
∃λ ∈ R, ∃x ∈ S, Ax = λx.
Remarque : Pour montrer que A est diagonalisable, on procède par récurrence sur la dimension.
2