Sciences Industrielles pour l`Ingénieur/Cinématique/Cours

PCSI/MPSI
Pôle Kerichen-Vauban
CHAMPS DES VECTEURS VITESSE
D’UN SOLIDE
1 Point lié à un solide
En cinématique du solide indéformable, on s’intéresse au mouvement des solides et
donc des points qui les constituent. On dit qu’un point M est lié à un solide S si ce
point est fixe dans le repère R associé à ce solide. On peut alors étudier le
mouvement d’un point M lié à un solide sans que ce point appartienne physiquement
au solide.
Pour noter qu’un point M est lié à un solide S, on écrit :
Exemple : moteur thermique
On peut étudier la vitesse du point B lié au solide 1 ou au solide 2 dans son
mouvement par rapport au repère fixe par exemple... On notera alors
respectivement:
ou
.
2 Champ des vitesses d’un solide
2.1
Vitesse d’un solide
Un champ de vecteur est une fonction vectorielle qui prend une valeur vectorielle en
chaque point où il est défini. Ainsi, l’ensemble des vecteurs vitesses des points
M liés à un solide S, à un instant t, constituent le champ des vecteurs vitesses
de ce solide.
J.P.
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On notera la vitesse d’un point M lié à un solide S dans son mouvement par rapport
à un repère R0 :
ou
L’étude de la cinématique d’un solide consistera à déterminer ce champ de vecteur.
2.2
Equiprojectivité du champ des vecteurs vitesses
Soient A et B deux points liés à un solide S, on a alors la propriété suivante :
On dit que le champ des vitesses est équiprojectif : les projections des vitesses d’un
point A et d’un point B liés à un solide sur le vecteur
sont égales. Cette relation
est surtout utile en résolution graphique.
Démonstration :
Reprenons la définition d’un solide indéformable :
On a alors :
avec
d’où :
Exemple : illustration sur le moteur thermique. On cherche à déterminer
par
la seule connaissance de la vitesse de rotation du vilebrequin en utilisant la propriété
d’équiprojectivité.
2.3
Torseur cinématique
Propriété remarquable du champ des vecteurs vitesses :
Nous avons vu que d’après la formule de dérivée vectorielle, la dérivée d’un vecteur
où A et B sont deux points liés à un solide est donnée par :
J.P.
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Avec :
et :
On obtient alors :
D’où :
Que l’on note plus fréquemment (en permutant le produit vectoriel) :
Cette propriété est une propriété fondamentale qui permet de définir le champ des
vecteurs vitesses d’un solide indéformable. Cela signifie que pour connaître la
vitesse de n’importe quel point d’un solide S, il suffit de connaître :
•
•
Le vecteur taux de rotation
du solide S dans son mouvement par
rapport à un repère R0
Le vecteur vitesse de n’importe quel point M lié à S :
Ces deux éléments sont des champs de vecteurs :
•
est un champ uniforme qui ne dépend pas du point considéré, il ne
dépend que du solide S et du repère R0
• Le champ des vecteurs vitesses de tous les points liés au solide S constitue
ce que l’on appelle un champ de moment défini par la relation :
Remarque : moyen mnémotechnique BABAR.
Le champ des vecteurs vitesse d’un solide est donc le champ des moments
d’un TORSEUR. Le torseur est un outil vectoriel qui permet de représenter un
champ de vecteurs présentant les propriétés que nous venons d’établir.
On définit ainsi le torseur cinématique d’un solide S dans son mouvement par
rapport au repère R0 écrit au point M par :
les vecteurs
•
•
J.P.
et
sont les éléments de réduction du torseur :
est la résultante du torseur cinématique.
est le moment du torseur cinématique.
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Le mouvement de S par rapport à R0 est totalement défini par l’expression du torseur
.
On peut changer le point où est exprimé le torseur en utilisant la propriété du champ
des vitesses :
On transporte le moment du point A au point B, on peut donc écrire
à partir de
.
2.3.1 Composition des vitesses
On s’intéresse aux mouvements relatifs de 3 solides notés 1,2 et 3. Nous avons vu
les propriétés de composition des vecteurs rotation et des vecteurs vitesse :
et
on en déduit la propriété de composition sur le torseur cinématique :
d’où :
Cette relation se généralise à n solides. Mais attention, pour être sommés, les
torseurs doivent impérativement être écrits aux même points.
2.3.2 Invariants du torseur cinématique
Le torseur cinématique possède d’autres propriétés remarquables : les invariants.
Ce sont les quantités qui ne changent pas en fonction du point considéré.
Premier invariant :
Il s’agit simplement de la résultante cinématique (vecteur taux de rotation)
qui comme nous l’avons vu est un champ uniforme.
J.P.
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Deuxième invariant :
Le produit scalaire :
exprimé le torseur cinématique.
est indépendant du point M où est
Démonstration :
Le champ des vecteurs vitesse est défini pour deux points de S par la relation :
D’où :
Or
est nul donc :
3 Accélération des points d’un solide
On s’intéresse à présent au champ des accélérations d’un solide indéformable.
L’accélération d’un point M lié à un solide S est définie par :
Reprenons la formule de transport du moment cinématique et dérivons la :
soit :
.
Développons
:
,
avec :
,
d’où :
Conclusion : le champ des vecteurs accélération n’est pas un champ de moment de
torseur. Le champ des vecteurs accélération d’un solide ne présente aucune
propriété particulière exploitable.
J.P.
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Mouvements particuliers
4.1
Mouvement de translation
Définition : un solide S est dit animé d’un mouvement de translation par rapport à un
repère R0 si pour 3 points quelconques A, B et C liés à S, les vecteurs
et
restent constants au cours du mouvement.
Exemple : piston du système bielle manivelle dans son mouvement par rapport au
bloc cylindre fixe.
Propriétés remarquables :
•
•
•
Pour un solide en translation, le vecteur taux de rotation est nul :
Une condition suffisante pour qu’un solide S soit animé d’un mouvement de
translation est que tous les points de S aient le même vecteur vitesse à un
instant t :
Une condition suffisante pour qu’un solide S soit animé d’un mouvement de
translation est que tous les points de S aient le même vecteur accélération à
un instant t :
Il suffit donc de connaître le vecteur vitesse (ou accélération) d’un seul point d’un
solide en translation pour connaître les vecteurs vitesse (ou accélération) de tous les
points du solide.
Remarque : on peut distinguer deux types de translations
Translation rectiligne :
La translation est dite rectiligne si les trajectoires des points du solide S dans son
mouvement par rapport à un repère R0 sont des droites.
Exemple: piston du système bielle manivelle.
Translation curviligne (circulaire) :
La translation est dite curviligne si les
trajectoires des points du solide S dans
son mouvement par rapport à un repère R0
sont des courbes (des cercles).
Exemple: Nacelle d’une grande roue.
J.P.
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Le torseur cinématique d’un solide S en translation par rapport à un repère R0 s’écrit
donc en un point M quelconque :
Remarque : ce torseur particulier à résultante nulle est appelé torseur couple.
4.2
Mouvement de rotation
Définition : un solide est animé d’un mouvement de rotation par rapport à un repère
R0 autour d’un axe AB si les points A et B liés à S restent fixes au cours du
mouvement. L’axe AB est l’axe de rotation.
L’axe de rotation peut également être défini par un unique point (appartenant à la
droite AB) et un vecteur colinéaire à
.
Exemple : le vilebrequin 1 du système bielle manivelle est animé d’un mouvement de
rotation autour de l’axe
par rapport à R0.
Propriétés remarquables :
•
•
Tout point de l’axe de rotation a une vitesse nulle.
Si le point O est sur l’axe de rotation, alors la vitesse de tout point M lié à S
est donné par :
. Ce vecteur est donc orthogonal au
rayon issu de O et passant par M.
Le torseur cinématique d’un solide S en rotation par rapport à un repère R0 s’écrit
donc en un point M quelconque (avec le point O sur l’axe de rotation):
{V (S / R0 )}M
!!!!!!!!!"
⎧
Ω(S
/ R0 )
⎪
= ⎨ !!!" !!!!!!!!!"
⎪⎩ MO ∧ Ω(S / R0 )
⎫
⎪
⎬
⎪⎭ M
avec en O :
Remarque : ce torseur particulier à moment central nul est appelé glisseur.
J.P.
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Cas particulier d’une simple rotation dans le plan :
!!!"
On note le rayon : MO = r
!!!!!!!!!"
On note la vitesse de rotation : Ω(S / R0 ) = ω
!!!" !!!!!!!!!"
Puisque l’on a : MO ⊥ Ω(S / R0 )
!!!!!!!!!!!!"
!!!" !!!!!!!!!"
On en déduit : V (M ,S / R0 ) = MO . Ω(S / R0 ) = r.ω
J.P.
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