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Mécanique – Formulaire
Égalités vectorielles
u  (v  w)  (u.w)v  (u.v)w
(u  v)  w  (u.w)v  (v.w)u
((a, b, c))  a.(b  c)
(a  b).(c  d )  (a.c)(b.d )  (a.d )(b.c)
(a  b)  (c  d )  (( a, c, d ))b  ((b, c, d )) a
Torseurs
Définition du moment d’un vecteur par rapport à un point P :
Note : A est un point quelconque de la droite d’action du
vecteur.
Propriété de changement de référence :
M Q (v)  M P (v)  QP  v
Coordonnées d’un torseur (somme et moment résultant) :
Note : C’est la somme des moments, et pas le moment de
la somme.
Propriété de changement de référence :
Définition de l’Automoment :
Définition du Comoment :
n

S   Ai Bi

i 1

n
M 
PAi  Ai Bi

P

i 1

M Q  M P  QP  S
A  S.M P
C12  S1.M 2 P  S2 .M1P
Note : L’automoment et le comoment sont tous deux
indépendants de P.
L’Axe Central d’un torseur est la droite de même direction que
sa somme passant par le point particulier I* tel que :
Note : Le moment est constant le long de l’axe central et vaut
Équiprojectivité :
M P (v)  PA  v
M Q .QP  M P .QP
S  MP
PI * 
S²
MI  S
avec

A
S²
Cinématique
Vitesse
Définition
Avec Oi n’importe quel point fixe dans (Ri)
i
d
Oi M
i
V (M ) 
dt
Formule de changement d’origine
(M et N appartenant tous les deux au même solide rigide (Sk)
V i ( N k )  V i ( M k )  N k M k  ik
Accélération
Définition
J i (M ) 
d i V i (M )
dt
Formule de changement d’origine
(M et N appartenant tous les deux au même solide rigide (Sk)
i
i
d
(

k)
J i ( N k )  J i (M k ) 
 M k N k  ik  (ik  M k N k )
dt
Formules de Changement de Repère
V i ( M )  V k ( M )  Vki ( M )
J i ( M )  J k ( M )  J ki ( M )  2ik  V k ( M )
Composantes Intrinsèques
Avec s(t) la distance parcourue sur la trajectoire
t est le vecteur tangent à la trajectoire au point considéré
n vecteur normal à t orienté vers l’intérieur de la courbure
R le rayon de courbure
.
V (M )  s t
i
.2
n
J (M )  s t  s
R
i
..
Moving Basis Formula
d i ( w) d k ( w)

 ik  w
dt
dt
No Slip in I
- Où est I ? Dans quel repère ?
- On décompose la vitesse en I en vitesses relatives à d’autres repère en utilisant la
relation de Chasles, en cohérence avec les paramètres donnés.
- Formule de changement d’origine, pour avoir de meilleurs points où calculer les
vitesses (sur les axes de rotation)
- On développe tout.
- On vérifie que la vitesse obtenue est bien perpendiculaire au vecteur n, normale à la
surface de contact (contact en I).
- On dit que cette vitesse vaut 0.
Cinétique
0
 0 
V
 P( S ) ( P)dm


 0 (C )   P( S ) CP  V 0 ( P)dm

Torseur cinétique :
OG 
1
M

P( S )
 0  M V 0 (G)
OPdm
Changement d’origine
 0 ( L)   0 (M )  LM   0
Matrice d’inertie de S par rapport à O :
[ I ]O ,S
 A
  F
  E
x 
OP   y 
 z  / R
 F  E  A   ( S ) ( y ²  z ²)dm
B  D B   ( S ) ( x ²  z ²)dm
 D C  / R
C   ( S ) ( x ²  y ²)dm
Formules de HUYGENS
a 
OG  b 
c  / R
Simplifications :
Ecriture Matricielle
KOENIG’S Formula
D   ( S ) ( yz )dm
E   ( S ) ( xz)dm
F   ( S ) ( xy) dm
AO  AG  M (b²  c ²)
DO  DG  M (bc)
BO  BG  M (a ²  c ²)
EO  EG  M (ac)
CO  CG  M (a ²  b²)
FO  FG  M (ab)
(O,x,y) plan de symétrie pour (S) => D=E=0
(O,x) axe de symétrie pour (S) => D=E=F=0 ([I] matrice diagonale)
(O,x) axe de révolution pour (S) => D=E=F=0 et B=C
Si (O,x) axe de révolution pour (S) et x=x*, alors [I]/R = [I]/R*
 0 (G)  [ I ]G ,S .0S
 0 (C )  [ I ]G ,S .0S  CG   0
Dynamique
0
 0 
J
 S  P( S ) ( P)dm

 0 (C )   P( S ) CP  J 0 ( P)dm

Torseur dynamique :
 0S  M .J 0 (G )
Changement d’origine
Calcul du moment
dynamique en C :
 0 ( L)   0 ( M )  LM   0S
d0 0
0
 (C )  (  S (C ))  M .V 0 (C )  V 0 (G))
dt
Simplifications si :
- C=G
- C fixe dans R0
- V0(C) // V0(G)
Energie Cinétique
Son expression dépend du repère R0 dans lequel on calcule les vitesses, moments et matrice
d’inertie…
1
1t 0
0
2
T  M .V (G )   S [ I ]G , S  0S
2
2
0
Si un point OS de (S) est fixe dans R0 alors on a :
1t 0
T   S [ I ]OS , S  0S
2
0
Théorèmes Fondamentaux de la Dynamique
 0  F
 S
ext / S

 S0 (G )  M ext / S (G )
Constitutive Equations
Contacts non
Avec
lubrifiés
Glissement
[Slipping]
Sans
T1/ 2   f N1/ 2
V (I )
Cr1/ 2  h N1/ 2
( R21 )1
[2 équations]
Roulement
[Rolling]
[2 équations]
[Pitching]
1
2
Cp1/ 2  k N1/ 2
[1 équation]
V21 ( I )
( R21 )1
1
2 1
(P )
( P21 )1
f : coeff de friction
T1/ 2  f N1/ 2
h : coeff de roulement
Cr1/ 2  h N1/ 2
k : coeff de pitching
Cp1/ 2  k N1/ 2
Tableau quand on veut un système réduit
Nature
Cinématique
Dynamique
Inconnues
Inconnues cinématiques
Tous nos liens du graph of
links + ressorts, amortisseurs
Equations
Constraint equations
General thms : 6 * nb solides
Constitutive equations
Inconnues/Equations dynamiques
Liaison
Pivot [revolute]
Glissière [prismatique]
Pivot glissant [cylindrical]
Rotule [spherical]
Contact
Ressorts [springs]
Amortisseurs [dampers]
Inconnues dynamiques
5
5
4
3
3
1
1
Equations dynamiques
6
6
6
6
cf. tableau constitutive equations
1
1