CINEMATIQUE DU SOLIDE 3 : CHAMPS DES VITESSES ET

MPSI/PCSI
SI, cours sur la cinématique
CINEMATIQUE DU SOLIDE 3 :
CHAMPS DES VITESSES ET TORSEUR CINEMATIQUE
I.
CHAMPS DES VITESSES D’UN SOLIDE INDEFORMABLE.
Exemple :
La figure représente le champ des vitesses
d’un solide animé d’un mouvement de
rotation.
Le champ des vitesses du solide (S1) dans son mouvement par rapport à un repère (R0) est

V
le champ qui associe à tout point M appartenant à (S1) le vecteur vitesse ( M  S1 / R0) .
Relation cinématique du solide :
Soient 2 solides (S0) et (S1) auxquels sont rattachés les repères (R0) et (R1).
  
R0 (O , i0 , j0 , k 0 )
et
  
R1 (O1 , i1 , j1 , k1 )
On a une relation entre la vitesse de 2 points d’un même solide indéformable
(Appelé relation de Varignon) :



V ( M  S1 / R0)  V ( N  S1 / R0)  ( R1 / R0)  NM
II.
TORSEUR CINEMATIQUE.
Pour connaître le champ des vitesses d’un solide (S1), dans son mouvement par rapport à
un repère R0, il suffit de connaître :
 Le vecteur vitesse de rotation

( R1/ R0)
 La vitesse d’un point (la vitesse des autres points est donnée par la relation de
Varignon).
C’est ce que l’on appelle le torseur cinématique (ou torseur distributeur des vitesses).
Notations :
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MPSI/PCSI
SI, cours sur la cinématique

( R1/ R0)



VS1/ R0    ( R1 / R0) 
V ( M  S1 / R0)M


Autre notation :
 x

S1 / R0   y

 z
V
est la résultante du torseur

V ( M  S1/ R0)
vx 

vy 
v z  M ,dansR0

est le moment du torseur
composantes exprimées
dans un repère précisé.
Torseurs particuliers :
Torseur nul :
Torseur couple :

0
VS1/ R0    ,
0M


S1 fixe / R0



0
VS1/ R0   
 , mouvement de translation
V
(
M

S
1
/
R
0
)

M


Il existe plusieurs types de mouvement de translation selon la nature de la trajectoire :
 Translation rectiligne : les trajectoires des points sont des segments de droite,
 Translation circulaire : les trajectoires des points sont des arcs de cercle de même
rayon
 Translation curviligne : les trajectoires des points décrivent des courbes
Exemple de
translation rectiligne
Exemple de
translation
circulaire :
Exemple de
translation
curviligne :
La grande
roue
Le
téléphérique
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MPSI/PCSI
SI, cours sur la cinématique
Torseur glisseur :



VS1 / R0  ( R1/ R0) ,
0

M


mouvement de rotation autour
d’un axe passant par M, et de
direction

( R1/ R0)
Exemple :
Un rotor
Mouvement hélicoïdal :

VS1/ R0    ( R1/ R0) 
V ( M  S1 / R 0)
avec
M

p 
V ( M  S1/ R0) 
.( R1/ R0)
2.
p : pas de l’hélice, unités utilisées : mètre et radiant par seconde
Exemple : mécanisme vis écrou
La rotation et la translation de la vis sont conjuguées.
Quand la vis tourne d’un tour, elle avance du pas
Point central, axe central du torseur cinématique :

Un point central est un point ou le moment V ( M  S1/ R0) est soit nul, soit colinéaire à la
résultante

( R1/ R0) .
L’axe central est constitué de l’ensemble des points centraux.

Sur l’axe central, V ( M  S1/ R0) est minimal et constante.




Lorsque V ( M  S1 / R 0)  0 sur l’axe central et que ( R1 / R0)  0 on parle alors
d’axe instantanée de rotation.
Illustration :
Un mouvement quelconque peut se décomposer en :
 Un mouvement de translation dans la direction (Δ)
 Un mouvement de rotation autour de (Δ) (mouvement de « vissage »
Rappels :



V (C  S1 / R0)  V ( H  S1 / R0)  ( R1 / R0)  HC
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SI, cours sur la cinématique

z

z

V ( A  S 1 / R 0)

V ( H  S1 / R 0)

V (C  S1 / R0)
H

V ( B  S1 / R0)
A

y
B

x
III.
C

 ( R1 / R 0)
CHAMP DES ACCELERATIONS D’UN SOLIDE INDEFORMABLE.
En dérivant la relation de Varignon et après calcul, on trouve :





d( R1 / R 0)
A( M  S1 / R0)  A( N  S1 / R0)  (
) R 0  NM  ( R1 / R0)  [( R1 / R0)  NM ]
dt
Remarque : Retenir que la relation entre les accélérations de 2 points d’un même solide
n’est pas la même que la relation entre les vitesses de 2 points d’un même solide.
IV.
COMPOSITION DE MOUVEMENT.
Soient 3 solides (S0), (S1) et (S2).
(S2) est en mouvement par rapport à (S1) et (S1) est en mouvement par rapport à (S0).
  
  
  
Les repères R0 (O , i0 , j0 , k 0 ) , R1 (O1 , i1 , j1 , k1 ) et R2 (O 2 , i2 , j2 , k 2 ) sont lié aux solides
(S0), (S1) et (S2).
 Mouvement de (S2) par rapport à (S0) : mouvement absolu.
 Mouvement de (S2) par rapport à (S1) : mouvement relatif.
 Mouvement de (S1) par rapport à (S0) : mouvement d’entraînement.
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SI, cours sur la cinématique
1. Composition des vecteurs vitesses de rotation.



( S 2 / R0)  ( S 2 / S1)  ( S1 / R0)
2. Composition des vecteurs vitesses.
Démonstration de la relation :
Soit M un point appartenant à (S2).

d OM
d (OO1  O1M )
d OO1
dO M
V ( M  S 2 / R0)  (
) R0  (
)R0  (
)R0  ( 1 )R0
dt
dt
dt
dt
Premier vecteur :

d OO1
(
) R 0  V (O1  S1 / R0)
dt
Deuxième vecteur :
On utilise la formule de la base mobile
(

d O1M
dO M
) R 0  ( 1 ) R1  ( R1 / R0)  O1M
dt
dt

d O1 M
) R 0  V ( M  S 2 / R1)  ( R1 / R 0)  O1 M
dt



V ( M  S 2 / R0)  V (O1  S1 / R0)  V ( M  S 2 / R1)  ( R1 / R0)  O1M
(



V ( M  S 2 / R0)  V ( M  S 2 / R1)  V (O1  S1/ R0)  ( R1 / R0)  O1M
On utilise la relation cinématique du solide :



V ( M  S1 / S 0)  V (O1  S1 / S 0)  ( R1 / R0)  O1M
.
Finalement :



V ( M  S 2 / R0)  V ( M  S 2 / S1)  V ( M  S1 / R0)
Remarque :

V ( M  S1 / R0)
M S2 ,
M  S1
est la vitesse du point M supposé
appartenir à (S1) à l’instant t, c’est la vitesse de M « bloqué sur (S1) ».
3. Composition des torseurs cinématiques.
VS 2 / R0  VS 2 / S1  VS1/ R0
M
M
M
Les torseurs doivent être exprimés au
même point (les vitesses des torseurs).
4. Composition des accélérations.
En dérivant la composition des vitesses et après calcul, on trouve :
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MPSI/PCSI
SI, cours sur la cinématique




A( M  S 2 / R0)  A(M  S 2 / S1)  A( M  S1 / R0)  2.( R1 / R0)  V ( M  S 2 / R1)

2.( R1 / R0)  V ( M  S 2 / R1) est l’accélération de Coriolis.
V.
EXEMPLE 1
  
R
(
O
,
i
Soit (S0) un solide de référence auquel est rattaché le repère 0
0 , j0 , k 0 )

Soit (S1) une barre animée d’un mouvement de rotation d’axe (O , k 0 ) par rapport à R0.
 
 
  
R1 (O , i1 , j1 , k1 ) est lié à (S1). On a k1  k 0 et ( i0 , i1 )  
Soit (S2) un solide animé d’un mouvement de translation d’axe
On a

OM  r .i1

(O , i1 ) par rapport à (S1).
Questions.
1. Déterminer les vitesses absolue, relative et d’entraînement de M.
2. Déterminer les accélérations absolue, relative, d’entraînement et de Coriolis de M.






d OM
d (r.i1 )
di
V ( M  S 2 / R0)  (
) R0  (
) R 0  r.i1  r.( 1 ) R 0  r.i1  r. . j1
dt
dt
dt


V ( M  S 2 / S1)  r.i1


V (M  S1 / R0)  r. . j1
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Rappel :
SI, cours sur la cinématique



V ( M  S 2 / R0)  r.i1  r. . j1






di1
dj1
A( M  S 2 / R0)  r.i1  r.( ) R 0  r. . j1  r.. j1  r. .( ) R 0
dt
dt






A( M  S 2 / R0)  r.i1  r. . j1  r. . j1  r.. j1  r. 2 .i1





A(M  S 2 / R0)  r.i1  r.. j1  r. 2 .i1  2.r. . j1


A( M  S 2 / S1)  r.i1
accélération relative



A( M  S1 / R 0)  r.. j1  r. 2 .i


2.( R1 / R0)  V ( M  S 2 / R1)  2.r. . j1
VI.
accélération d’entraînement
accélération de Coriolis
EXEMPLE 1 : CENTRIFUGEUSE.
Une centrifugeuse crée une
accélération permettant par exemple
de séparer rapidement 2 liquides
initialement mélangées.
Autre exemple, la centrifugeuse du
Laboratoire central des ponts et
chaussées (LCPC) permet l'étude du
comportement d'ouvrages à partir de
modèles réduits en corrigeant le
facteur d’échelle.
Le bâti (1) est fixe. Le solide (2) est animé d’un mouvement de rotation d’axe
d’angle φ par rapport au bâti (1). Ces solides sont liés par une liaison pivot.
Le solide (3) est animé d’un mouvement de rotation d’axe
au solide (2). Ces solides sont liés par une liaison pivot.
  
  

( A, y 2 ) et d’angle θ par rapport
Les repères R1 (O1 , x1 , y1 , z1 ) , R2 (O1 , x2 , y 2 , z 2 ) et
respectivement aux solides (1), (2) et (3).
On a
 
z1  z2
et


y2  y3
On donne :
  
R3 ( A, x3 , y3 , z3 ) sont liées

O A  a.x
1

(O1 , z1 ) et
2
et

AB  b.z
3
Questions
1. Déterminer au point B le torseur cinématique du mouvement du solide (3) par rapport
au solide (1). Calculer la vitesse de B en utilisant la relation de Varignon.
2. Déterminer les vitesses absolue, relative et d’entraînement de B.
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SI, cours sur la cinématique
Attention :  est négatif sur le schéma cinématique donné…
Torseur cinématique :



 (3 / R1)    .z1  . y2 
V 3 / R1   
 

V
(
B

3
/
R
1
)
V
(
B

3
/
R
1
)
A

B 





V ( B  3 / R1)  V ( A  3 / R1)  (3 / R1)  AB



V ( B  3 / R1)  V ( A  2 / R1)  (3 / R1)  AB
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SI, cours sur la cinématique




V ( B  3 / R1)  V (O1  2 / R1)  ( 2 / R1)  O1 A  (3 / R1)  AB







V ( B  3 / R1)  0  (.z1 )  (a.x2 )  (.z1  . y 2 )  (b.z 3 )




V ( B  3 / R1)  a.. y 2  b. . sin  . y 2  b..x3



V ( B  3 / R1)  (a  b. sin  ). . y2  b..x3
Entrainement :


V ( B  2 / R1)  (a  b. sin  ).. y 2
Relative :


V ( B  3 / R 2)  b..x3
B2
Accélération du point B dans son mouvement par rapport au repère R1.



V ( B  3 / R1)  .( a  b. sin  ). y2  b..x3



A( B  3 / R1)  .( a  b. sin  ). y2  .(b.. cos  ). y2



d
x
  .(a  b. sin  ).( .x2 )  b..x3  b..( 3 ) R1
dt








dx3
dx3
(
) R1  (
) R 2   ( R 2 / R1)  x3  .z3  .z1  (cos  .x2  sin  .z1 )
dt
dt



d x3
(
) R1  .z3   . cos  . y 2
dt


A( B  3 / R1)  [.( a  b.sin  )  2.a.b. .. cos  )]. y2



  2 .( a  b.sin  ).x  b..x  b. 2 .z
2
Entrainement :
3
3



A( B  2 / R1)  .( a  b.sin  ). y2   2 .( a  b.sin  ).x2
Relative :



A( B  3 / R 2)  b..x3  b. 2 .z3
De Coriolis :


A( B  3 / R1)  2.a.b... cos  . y2
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