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Probabilités élémentaires – HLMA 311
TD n˚3 : Variables aléatoires discrètes
Exercice 1. (***) On lance n fois une pièce, puis de nouveau n fois.
1. Avec quelle probabilité pn obtient-on les deux fois le même nombre de "faces" ? Simplifier le
résultat obtenu en s’intéressant au coefficient de degré n du polynôme (X + 1)2n = [(X + 1)n ]2 .
2. En utilisant la formule de Stirling, déterminer un équivalent de pn lorsque n → +∞.
Exercice 2. (**) Une urne contient initialement une boule noire et une boule blanche et on répète
l’expérience aléatoire suivante : on tire une boule, on la remet dans l’urne et on ajoute aussitôt une
boule supplémentaire de la même couleur. Ce modèle d’urne est connu sous le nom d’urne de Pólya.
Pour tout k ∈ N, on note Nk le nombre de boules blanches dans l’urne après k tirages. Montrer par
récurrence que, pour tout k ∈ N, Nk suit la loi uniforme U({1, · · · , k + 1}).
Exercice 3. (***) Soit p ∈]0, 1[ et X1 , · · · , Xn des variables aléatoires indépendantes et de même
loi définies pour tout k ∈ {1, · · · , n} par : P(Xk = 1) = p et P(Xk = −1) = 1 − p. On pose pour
tout k ∈ {1, · · · , n} : Πk = Πki=1 Xi et :
uk = P(Πk = 1) et vk = P(Πk = −1).
1. a) Montrer que pour tout k ∈ {1, · · · , n − 1} :
uk+1 = puk + (1 − p)vk et vk+1 = (1 − p)uk + pvk .
b) Déterminer, grâce à uk + vk et uk − vk , une expression explicite de uk et vk en fonction de
k. Interpréter le résultat pour de grandes valeurs de k.
2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que les variables aléatoires Π1 et Π2
soient indépendantes.
Exercice 4. (**) Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur
{1, · · · , n}. On pose :
I = min(U, V ) et S = max(U, V ).
1. Que vaut P(I ≥ i), pour tout i ∈ {1, · · · , n} ? En déduire la loi de I.
2. Montrer que E(I) =
(n+1)(2n+1)
6n
et en déduire l’espérance de S sans calculer sa loi.
3. Les variables I et S sont-elles indépendantes ? Donner la loi du couple (I, S).
Exercice 5. (*) Soit X une variable aléatoire discrète de moyenne m et de variance σ 2 .
1. Démontrer que la fonction g(t) = E(X −t)2 est minimale pour t = m. Que vaut son minimum ?
2. Démontrer que
E(X 2 ) = 0 ⇔ P(X = 0) = 1 et σ 2 = 0 ⇔ P(X = m) = 1.
Exercice 6. (*) Soit A et B deux événements aléatoires tels que
P(A) = 1/2,
P(B) = 1/3 et P(A ∩ B) = 1/4.
Déterminer la loi, l’espérance et l’écart-type de X = 11A + 211B .
Exercice 7. (**) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur
{0, · · · , n}. On pose Z = |X − Y |. Calculer l’espérance de Z sans calculer sa loi et en donner
un équivalent lorsque n → +∞.
Exercice 8. (*) Deux amis font partie d’un groupe de n personnes, auxquelles on a distribué au
hasard des numéros d’ordre pour constituer une file d’attente (cf exo 12 du TD 1). Quelle est la
distance moyenne entre les deux amis ? Donner également sa variance.
1
Exercice 9. (**) Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans {−1, 1} et de
même loi telle que P(U = −1) = 1/3 et P(U = 1) = 2/3. On pose X = U et Y = signe(U ) V .
1. Quelle est la loi du couple (X, Y ) ? Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
2. Les variables aléatoires X 2 et Y 2 sont-elles indépendantes ?
Exercice 10. (*) Une machine à sous fonctionne de la manière suivante : on introduit une pièce
de 1 euro et 3 roues se mettent à tourner : ces roues représentent les dix chiffres de 0 à 9 et chaque
roue s’arrête en montrant un chiffre au hasard. Si les trois chiffres sont différents, le joueur perd sa
mise ; s’il y a un "double", le joueur récupère sa mise plus deux euros ; s’il y a un "triple", le joueur
récupère sa mise plus x euros.
1. Soit X la variable aléatoire associée au gain d’un joueur. Déterminer la loi de X.
2. Jusqu’à quelle valeur de x le jeu est-il favorable au propriétaire de la machine ?
Exercice 11. (*) Soit X une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p. Montrer que la
loi est sans mémoire, i.e.
∀(k, n) ∈ N∗2 , P(X > n + k|X > k) = P(X > n).
Exercice 12. (**) Un insecte pond des oeufs suivant une loi de Poisson P(λ). Chaque oeuf à une
probabilité p d’éclore, indépendamment des autres oeufs. Soit Z le nombre d’oeufs qui ont éclos.
Donner la loi de Z et en déduire son espérance.
Exercice 13. (*) Un voyage organisé (séjour au ski par exemple) peut accueillir 95 personnes. La
pratique montre que l’on peut estimer à 5% la probabilité qu’une réservation soit annulée avant le
départ. Le voyagiste fait du surbooking et il accepte 100 réservations. Quelle est la probabilité que
le voyagiste soit obligé de refuser un client ayant réservé ?
Exercice 14. (**) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.
P
1. Montrer que E(X) = +∞
k=1 P(X ≥ k).
2. Une urne contient des boules numérotées de 1 à N . On fait un tirage avec replacement de n
boules et on note X le plus grand numéro tiré.
Pn−1 k n
a) Déduire de la question 1 que E(X) = N − k=0
.
N
n
.
b) Montrer que si N grand, E(X) ≈ N n+1
Exercice 15. (**) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N dont la loi est définie par :
P(X = k) = pk , ∀k ∈ N.
P
k
1. On considère la fonction génératrice de X : GX (s) = E(sX ) = +∞
k=0 s P(X = k).
0
a) Démontrer que E(X) = GX (1).
b) Démontrer que V(X) = G00X (1) + G0X (1) − G02
X (1).
2. Utiliser ces résultats pour retrouver la moyenne et la variance d’une variable aléatoire de loi
B(n, p).
3. Utiliser ces résultats pour retrouver la moyenne et la variance d’une variable aléatoire de loi
P(λ).
Exercice 16. (***) On considère des variables aléatoires indépendantes X1 , · · · , Xn suivant la loi
de Poisson de paramètre λ > 0.
1. Quelle est la probabilité de l’événement {X1 = k1 , · · · , Xn = kn } ? Pour quelle valeur de λ
cette probabilité est-elle maximale ?
2. On pose, pour tout i = 1, · · · , n, Yi = min(Xi , 1). Quelle est la probabilité de l’événement
{Y1 = y1 , · · · , Yn = yn } ? Pour quelle valeur de λ cette probabilité est-elle maximale ?
3. Une suspension de 108 bactéries est infectée par une population de phages (particules infectieuses). A la fin de l’expérience, on a constaté que 75 × 106 bactéries sont infectées par un ou
plusieurs phages. On admet que le nombre de phages infectant une bactérie est une variable
aléatoire suivant une loi de Poisson.
a) Choisir une valeur pertinente de λ au vu des questions 1 et 2.
b) Estimer la probabilité pour qu’une bactérie soit contaminée par un seul phage ? par deux
phages ? par au moins trois phages ?
2