Trigonométrie dans un triangle rectangle

Trigonométrie dans un triangle rectangle
 Définitions
 Propriétés (démonstrations très faciles)
  1 et 0  sin A
 1
 0  cos A
  sin 2 A
 1
 cos 2 A
ABC est un triangle rectangle en C.
(relation fondamentale)
 et sin 2 A
 remplacent cos A

Le notation cos 2 A

.
On s’intéresse à l’angle A

  sin A
 tan A

cos A
 est  AC .
Le côté adjacent à l’angle A

tan A
BC
AC

 1  tan 2 A
B
  AC
cos A
AB
BC
BA
2
La démonstration est très facile et utilise le théorème de Pythagore.
 est  BC  .
Le côté opposé à l’angle A

sin A
2
 et  sin A  .
hypoténuse
A
1

cos 2 A
1
1
1

 sin 2 A

tan 2 A
opposé
  sin B

 cos A


sin A  cos B
C
adjacent
On retient ces formules grâce au moyen mnémotechnique suivant : « SOH CAH TOA » où H désigne
l’hypoténuse, O le côté opposé et A le côté adjacent (la lettre A n’a évidemment aucun rapport avec le nom du
sommet du triangle).
L’ordre est donné par O/H (« opposé sur hypoténuse »), A/H (« adjacent sur hypoténuse »), O/A (« opposé sur
adjacent »)
 Quand deux angles sont complémentaires (c’est-à-dire dire la somme des mesures en degrés est égale à 90),
le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre et inversement.

tan A
1

tan B
 Quand deux angles sont complémentaires, la tangente de l’un est égale à l’inverse de la tangente de l’autre.
 Valeurs remarquables (à savoir par cœur)
x
30
45
60
cos x
3
2
2
2
1
2
sin x
1
2
2
2
3
2
tan x
3
3
1
3
Déterminer un angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.
 Il y a un moyen mnémotechnique pour retenir ce tableau.
 Les calculatrices Casio donnent directement les valeurs exactes des lignes
trigonométriques de 30°, 45°, 60° qui s’expriment à l’aide de racines carrées.
Méthode :
On doit d’abord choisir le mode degré ou radian.
Touches
2nde
cos (arccos)
 Utilisation de la calculatrice de lycée (TI 82, 83, 84)
2nde
sin
(arcsin)
La plupart des élèves, au moment où ils ont étudié la trigonométrie dans le triangle rectangle, ont utilisé au
collège la calculatrice Casio fx-92.
Il est important au lycée de savoir utiliser en trigonométrie un modèle plus évolué de calculatrice.
2nde
tan
(arctan)
Exemple :
En dehors des valeurs remarquables, on est obligé d’utiliser la calculatrice.
Déterminer la mesure en degrés d’un angle aigu dont le sinus vaut 0,4.
Déterminer le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu de mesure donnée.
Solution :
Méthode :
On choisit le mode degré.
On doit d’abord choisir le mode degré ou radian.
On fait en sorte qu’à l’écran soit affiché Arcsin(0.4) ou sin  1  0.4 .
e
mode 3 ligne : RADIAN
DEGRE
Il s’agit d’écritures mathématiques que nous n’utiliserons pas à l’écrit.
Touches sin , cos , tan
On appuie sur la touche entrer .
Exemple :
On obtient l’affichage : 23,57817848.
Calculer à l’aide de la calculatrice sin 57°.
Notons  la mesure la mesure en degrés d’un angle aigu dont le sinus vaut 0,4 ( sin   0, 4 ).
Solution :
On a :   23,57817848... .
On choisit le mode degré.
On tape l’expression de sorte qu’à l’écran soit affiché : sin(57
On appuie sur la touche entrer .
On obtient l’affichage : 0.4361647552
sin 57  0, 436164755...
 Applications
 Exemple 2 (calculer un angle)
 Exemple 1 (calculer une longueur)
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB  5 et BC  7 .
  40 .
ABC est un triangle rectangle en A tel que BC  5 et B
 (valeur arrondie au dixième).
Calculer la mesure en degrés de l’angle B
Calculer la longueur AB (valeur arrondie au dixième).
Solution :
Solution :
C
C
5
7
40°
A
?
B
?
  BA .
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : cos B
BC
Donc cos 40 
BA
.
5
D’où BA  5  cos 40 (valeur exacte) [on privilégie cette écriture par rapport à BA  cos 40 5 ].
A

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : cos B

Donc cos B
5
B
BA
.
BC
5
.
7
Avec la calculatrice (mise en mode degré), on trouve : BA  3,83022221 .
Donc BA  3,8 (valeur arrondie au dixième).
Remarque :
Comme 40° n’est pas une valeur remarquable, on est obligé d’utiliser la calculatrice.
Grâce à la calculatrice (mise en mode degré, avec l’affichage Arccos(5/7 pour une calculatrice TI), on obtient :
  44, 415308 .
B
  44, 4 (valeur arrondie au dixième).
Donc B
Remarque :
Comme
5
n’est pas une valeur remarquable, on est obligé d’utiliser la calculatrice.
7
Point méthode :
Pour savoir si on choisit le cosinus, le sinus ou la tangente, on se réfère aux données et on utilise la « règle »
SOH-CAH-TOA.
Appendice 1 : démonstration des lignes trigonométriques de 45° et 60°
Angle de 60°
ABC est un triangle équilatéral de coté a.
Angle de 45°
On sait que tous les angles mesurent 60°.
ABC est un triangle isocèle rectangle en A.
On note H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC.
On pose a  AB  AC .
Comme ABC est équilatéral, H est le milieu de [AB].
 et C
 mesurent tous deux 45°.
On sait que les angles B
On a : CH 
On a : BC  a 2 (application du théorème de Pythagore).
a 3
2
(hauteur d’un triangle équilatéral de côté a).
C
C
a
45°
60°
A
45°
A
cos 45 
BA
a
1
2



BC a 2
2
2
sin 45 
1
2

2
2
tan 45 
AC a
 1
AB a
B
cos 60 
a
AH
1
 2 
AC
a
2
a 3
CH
3
sin 60 
 2 
CA
a
2
CH
tan 60 

AH
a 3
2  3
a
2
a
2
H
B
Appendice 2 : tableau des valeurs remarquables en radians
Appendice 4 : usage des petits points
Exemple :
x

6

4

3
cos x
3
2
2
2
1
2
sin x
1
2
2
2
3
2
tan x
3
3
1
3
Affichage obtenu sur calculatrice TI-83 à l’aide la touche  :
3,141592654
décimales exactes
décimale incertaine (soit 3 soit 4 car
obtenue par arrondi automatique)
On peut écrire :   3,14159265... (on n’a pas écrit la dernière décimale affichée).
On peut tout aussi bien écrire   3,1415... suivant les besoins.
Lecture du tableau :
cos

3
 1

, tan  3
 , sin 
3 2
3
2
3
Appendice 5 : utilisation de la calculatrice Casio 35+ E
Pour mettre la calculatrice Casio Collège ou Casio 35+ E en mode degré ou radian :
Appendice 3 : quelques remarques d’écriture
AB  4  cos
F6
F6 (ANGL) °
r (radians)
g (grade)
On est parfois obligé d’appuyer sur la touche OPTN puis de faire défiler jusqu’à ANGL.
Exemple de calcul :
AB  4  cos 60  4 
Menu normal
1
2
2

1
 4  2 .
3
2
On écrit l’unité lorsqu’il s’agit de degrés.
On ne met pas de parenthèses après cos, sin, tan même si celles-ci apparaissent sur l’écran de calculatrice
lorsque l’on tape les expressions.
On écrit le nombre avant le cosinus, le sinus ou la tangente ( 4  cos 60 et non cos 60  4 ).
On écrit cos, sin, tan en écriture attachée minuscule (et non en majuscule COS, SIN, TAN).
On retiendra :
- pas de majuscule ;
- pas d’écriture détachée.
Pour mettre la calculatrice Casio Collège ou Casio 35+ E en mode degré :
Shift > SetUp > Angle > Deg
Exercices
  38 .
1 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB  7 cm et ABC
Calculer les longueurs AC et BC (valeur exacte puis valeur arrondie au dixième).
Solution :
Autre manière en incorporant les unités dans les calculs :
 Calcul de AC :
  AC .
On a : tan ABC
AB
AC
Donc tan 38 
7 cm
On commence par faire une figure codée (en marquant l’angle droit).
 Calcul de AC :
D’où AC   7 cm   tan 38 ou AC  7  tan 38 cm (valeur exacte).
Avec la calculatrice, on trouve AC  5, 46899938... cm .
  AC .
On a : tan ABC
AB
AC
Donc tan 38 
7
D’où AC  7  tan 38 (valeur exacte).
Donc AC  5,5 cm (valeur arrondie au dixième).
 Calcul de BC :
Donc AC  5,5 cm (valeur arrondie au dixième).
  BA .
On a : cos ABC
BC
7 cm
Donc cos 38 
.
BC
On peut éventuellement rédiger en français la conclusion sous la forme.
D’où BC 
Avec la calculatrice, on trouve AC  5, 46899938... cm .
La valeur arrondie au dixième de la longueur AC en cm est égale à 5,5.
 Calcul de BC :
  BA .
On a : cos ABC
BC
7
Donc cos 38 
.
BC
D’où BC 
7
(valeur exacte).
cos 38
Avec la calculatrice, on trouve BC  8,88312750... cm .
Donc BC  8,8 cm (valeur arrondie au dixième).
7 cm
7
ou BC 
cm (valeur exacte).
cos 38
cos 38
Avec la calculatrice, on trouve BC  8,88312750... cm .
Donc BC  8,8 cm (valeur arrondie au dixième).
2 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AC  4 cm et BC  10 cm .
.
Calculer la valeur arrondie à l’unité de la mesure en degrés de l’angle ACB
Solution :
On commence par faire une figure codée (en marquant l’angle droit).
  CA .
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : ACB
CB
4
2

Donc on a : cos ACB
 .
10 5
  66, 4218215... [on n’écrit jamais ACB
  cos  1 2 ; on pourrait écrire à la
D’après la calculatrice, on a : ACB
5
2

rigueur ACB  Arccos si l’on cherche la mesure en radians].
5
  66 (valeur arrondie à l’unité).
Donc ACB
  66 et non
On ne peut écrire de français relatif à un membre d’une égalité : on écrit ACB

l’angle ACB  66 .