Fonction linéaire

Fonction linéaire
Définition :
Le nombre a étant donné, la fonction f qui, à la variable x, associe son
image f(x) = ax est appelée fonction linéaire.
Exemples :
La fonction f définie par f(x) = 2x ; la fonction g définie par g(x) =
fonction h définie par h(x) =
3
x ; la
7
3 x ; sont des fonctions linéaires.
Image, antécédent :
Pour la fonction linéaire définie par f(x) = 4x :
1. L’image de 3 se note f(3) ; on la calcule :
f(3) = 4 x 3 = 12
2. L’image de 3 par la fonction f est 12
3. L’antécédent de 20 par la fonction f est le nombre x qui vérifie :
f(x) = 20
c'est-à-dire
4x = 20
soit x = 20 : 4 = 5
4. L’antécédent de 20 par la fonction f est 5
Proportionnalité et fonction linéaire :
1. Toute situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire.
2. A toute fonction linéaire on peut associer une situation de proportionnalité.
3. Pour la fonction linéaire définie par f(x) = ax, le nombre a correspond au
coefficient de proportionnalité.
Représentation graphique
d’ une fonction linéaire
Propriété n°1 :
La représentation graphique d’une fonction linéaire définie par f(x) = ax est une
droite passant par l’origine du repère.
a est appelé « coefficient directeur » de la droite.
Propriété n°2 :
Un point appartient à la représentation graphique de f si ses coordonnées sont de
la forme (x ; ax).
Comment représenter graphiquement une fonction linéaire :
Exemple :
Représenter graphiquement la fonction linéaire définie par f(x) = 2x
1. On connait un point de cette représentation : l’origine du repère.
2. Pour tracer une droite, il faut connaître un deuxième point. Pour cela,
on choisit une valeur de x autre que 0 et on calcule son image.
Si x = 3 alors f(3) = 2 x 3 = 6
La droite passe donc par le point de coordonnées (3 ; 6).
3. On trace alors la droite :
Comment reconnaître la représentation graphique d’une fonction
linéaire :
Pour qu’une représentation graphique soit celle d’une fonction linéaire, il faut que
ce soit une droite passant par l’origine :
Les points ne sont pas alignés ; la
fonction n’est pas linéaire.
Les points sont alignés entre eux
mais pas avec l’origine ; la fonction
n’est pas linéaire.
Les points sont alignés entre eux
et avec l’origine ; la fonction est
linéaire.
Trouver l’expression algébrique
d’ une fonction linéaire
Situation n°1 :
Déterminer la fonction linéaire f telle que f(2) = 7
1. La fonction f est linéaire, donc on cherche la valeur du nombre a tel
que f(x) = ax
(on utilise ici la nature de la fonction pour écrire sa forme algébrique)
2. On sait que f(2) = 7 donc a x 2 = 7
soit
a = 7 : 2 = 3,5
(on utilise ici la donnée d’une valeur et de son image par f pour obtenir
une équation dans laquelle l’inconnue est le nombre a cherché)
Conclusion : f est la fonction linéaire définie par
f(x) = 3,5 x
(On pense à conclure en donnant l’expression algébrique de la fonction
cherchée).
Situation n°2 :
Déterminer la fonction linéaire g sachant que sa représentation graphique
passe par le point A(3 ; 2,7)
1. La fonction g est linéaire, donc on cherche la valeur du nombre a tel
que g(x) = ax
(on utilise ici la nature de la fonction pour écrire sa forme algébrique)
2. La représentation graphique de g passe par A(3 ; 2,7) donc g(3) = 2,7
(on utilise ici le fait qu’un point de la représentation graphique d’une
fonction a pour ordonnée l’image de son abscisse par cette fonction )
3. On sait que g(3) = 2,7
donc a x 3 = 2,7
soit
a = 2,7 : 3 = 0,9
(on utilise ici la donnée d’une valeur et de son image par f pour obtenir
une équation dans laquelle l’inconnue est le nombre a cherché)
Conclusion : g est la fonction linéaire définie par
g(x) = 0,9x
(On pense à conclure en donnant l’expression algébrique de la fonction
cherchée).
Situation n°3 :
Déterminer la fonction h connaissant sa représentation graphique
10
(d)
8
6
4
2
0
-2
-1
-2 0
1
2
3
4
-4
-6
1. La représentation graphique de la fonction h est une droite passant
par
l’origine
du
repère ;
h
est
donc
une
fonction
linéaire.
(on utilise ici la nature de la représentation graphique de la fonction
pour déterminer la nature de cette fonction)
2. La fonction h est linéaire, donc on cherche la valeur du nombre a tel
que h(x) = ax
(on utilise ici la nature de la fonction pour écrire sa forme algébrique)
3. Le point (2 ; 4) appartient à la droite, donc ses coordonnées sont telles
que
h(2) = 4
(on cherche sur la droite un point dont les coordonnées sont simples à
déterminer avec précision et on utilise le fait qu’un point de la
représentation graphique d’une fonction a pour ordonnée l’image de
son abscisse par cette fonction )
4. Comme h(2) = 4 alors a x 2 = 4
Conclusion : h est la fonction linéaire définie par
et a = 4 : 2 = 2
h(x) = 2x
(On pense à conclure en donnant l’expression algébrique de la fonction
cherchée).