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Chapitre 12 : Division euclidienne
I- Poser une division euclidienne
Vocabulaire :
Dividende
Diviseur
Quotient
Reste
Dans une division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers.
Propriété :
On a l’égalité : dividende = (diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur
Exemple : Poser la division euclidienne de 3 928 par 17.
-
3
9
3
4
-
2
8
5
2
5
1
8
1
8
1
7
-
1
7
2
3
1
aide :
on écrit une partie de la table de 17
17 × 1 = 17
1
17 × 2 = 34
17 × 3 = 51
17 × 4 = 68
17 × 5 = 85
Dans la division euclidienne de 3 928 par 17, le quotient est 231 et le reste est 1
On a l’égalité : 3 3928 = (17 x 231) + 1 .
Le reste 1 est bien inférieur au diviseur 17.
II- Multiples et diviseurs d’un nombre entier
1) Vocabulaire
Exemple : Poser la division euclidienne de 105 par 7.
1
0
-
7
-
5
7
1
3
5
3
5
5
0
Dans la division euclidienne de 105 par 7, le quotient est 15 et le reste est 0.
On a donc l’égalité : 105 = 7 x 15
Vocabulaire : Comme 105 = 7 x 15
•
105 est un multiple de 7 et de 15
•
105 est divisible par 7 et par 15
•
7 et 15 sont des diviseurs de 105
•
7 et 15 divisent 105
attention : les multiples et les diviseurs d’un nombre entier sont aussi des nombres entiers !
2e Exemple : 6 324 est-il un multiple de 31 ?
aide :
on écrit une partie de la table de 31
31 × 1 = 31
-
6
3
6
2
1
-
1
1
2
4
3
1
2
0 4
2
0
2
2
31 × 2 = 62
31 × 3 = 93
31 × 4 = 124
4
4
31 × 5 = 155
0
Comme le reste de la division euclidienne de 6 324 par 31 est égal à 0 on a 6 324 = 31 x 204.
Donc 6 324 est un multiple de 31.
On dit aussi que :
-
6324 est divisible par 31.
-
31 est un diviseur de 6 324.
-
31 divise 6 324
2) Critères de divisibilité
Par 10 : Un nombre est divisible par 10 lorsqu’il se termine par zéro.
Exemples :
•
30 ; 420 ; 6 500 ; 13 080 … sont divisibles par 10
•
51 ; 38 ; 147 ; 1 689 ; 32 076 … ne sont pas divisibles par 10.
Par 5 : Un nombre est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 0 ou par 5.
Exemples :
•
15 ; 60 ; 345 ; 780 ; 4 600 ; 28 735 … sont divisibles par 5.
•
64 ; 107 ; 891 ; 1 323 … ne sont pas divisibles par 5.
Par 2 : Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il est pair (C’est-à-dire s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.)
Exemples :
•
36 ; 512 ; 1 724 ; 45 838 … sont divisibles par 2.
•
47 ; 601 ; 1 283 ; 71 325 … ne sont pas divisibles par 2.
Par 4 : Un nombre est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est dans la
table de 4.
Exemples :
•
124 ; 532 ; 1 608 ; 57 016 … sont divisibles par 4.
•
826 ; 341 ; 1 814 ; 25 669 … ne sont pas divisibles par 4.
Par 3 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table de 3.
Exemples :
•
3 195 : 3 + 1 + 9 + 5 = 18.
18 est dans la table de 3, donc 3 195 est divisible par 3.
•
19 204 : 1 + 9 + 2 + 0 + 4 = 16
16 n’est pas dans la table de 3, donc 19 204 n’est pas divisible par 3.
Par 9 : Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table de 9.
Exemples :
•
147 357 : 1 + 4 + 7 + 3 + 5 + 7 = 27
27 est dans la table de 9, donc 147 357 est divisible par 9.
•
490 : 4 + 9 + 0 = 13
13 n’est pas dans la table de 9 donc 490 n’est pas divisible par 9
III- Résoudre un problème
Enoncé : Paul a une collection de 344 timbres. Il souhaite les ranger dans un album.
Chaque page de cet album peut contenir 25 timbres.
De combien de pages aura-t-il besoin pour ranger tous ses timbres ?
Solution :
3 4 4 2 5
Dans la division euclidienne de 344 par 25, le quotient est 13 et le reste est 19.
- 2 5
On a donc l’égalité : 324 = (25 x 13) + 19
0 9 4
Il y aura 13 pages complètes et une page contenant 19 timbres.
-
Donc Paul utilisera 14 pages de son album.
7 5
1 9
1 3