AES-Misashs 2009-2010 Travaux Dirigés n 2 Puissances enti`eres

AES-Misashs
2009-2010
Travaux Dirigés n◦ 2
Puissances entières positives et négatives
Définition
Soit n ≥ 1 un entier naturel, la puissance ne d’un réel x est le produit de n facteurs égaux
à x, on le note xn et on lit ” x à la puissance n ”. On a donc
xn = x
· · · × x} .
| × x{z
n fois
Règles de calcul avec les puissances entières
Pour tous réels x, y et pour tous entiers naturels n ≥ 1 et m ≥ 1, on a :
Table 1
(1)
(2)
(3)
(4)
Propriétés
x x = xn+m
(xn )m = xnm
(xy)n = xn y n
n
x
xn
= n (où y 6= 0)
y
y
n m
Exemples
2 2 = 25+7 = 212
(25 )7 = 25×7 = 235
610 = (2 × 3)10 = 210 · 310
4
2
24
= 4
3
3
5 7
Identités remarquables (savoir au moins la première colonne)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Extension de la définition aux exposants négatifs
On peut généraliser la définition de xn aux exposants négatifs ou nuls, pour cela il faut
que x 6= 0, et on pose les définitions suivantes :
Exemples
x0 = 1
1
x−n = n
x
20 = 1
3−2 =
1
1
=
2
3
9
Et les règles de calcul exposées dans la table 1 sont encore vraies. En particulier :
Propriétés Exemples
xn
= xn−m
xm
xn
1
= m−n
m
x
x
25
= 25−2 = 23 = 8
22
22
1
1
1
= 5−2 = 3 =
5
2
2
2
8
Exercices
Simplifier les expressions suivantes.
11
5
a
a
(2x4 ) (5x6 )
1
3
7
8
3 2
3 5
3 2 4
x7 x5 x3 ((x7 )5 ) (4a2 b)3
(2a
b
c)
x
(8x
)
(5x
y
)
(4x
y
)
a5
a11
2
(10x2 )4
5 −3
ab
1 −3 2
1 5
(9y 6 )4 (3y 5 )−3
a (−3a−7 ) (2a2 ) (u−2 v 3 )−4
(2x4 y −6 )
x y (6x−1 y 3 )
7
2
6
2a b
4
Utiliser les identités remarquables pour transformer les expressions suivantes.
s2 − 9 25s2 − 10s + 1 x2 − 0, 01 x4 + 2x2 y 3 + y 6 z 6 − 2z 3 t8 + t16 2r − 1 − r2
1
Racines carrées, racines cubiques, racines q e
Définition
Soit a et b deux nombres réels positifs et q un entier naturel non nul, on dit que b est la
1
√
racine q e de a si on a bq = a. On note ce nombre b par q a ou par a q .
Remarques
√
√
√
Pour q = 1 on a 1 a = a et pour q = 2 on écrit a au lieu de 2 a. On lit alors ”racine
carrée de a” au lieu de ”racine deuxième de a”. Lorsque q = 3, on dit ”racine cubique” plutôt
que ”racine troisième”.
Propriétés
Soit p ≥ 1 et q ≥ 1 des entiers naturels et a, b des réels positifs ou nuls on a :
Propriétés
0 =0
1
1q = 1
1
(a q )q = a
1
1
1
1
a p a q = a( p + q )
1
1 1
a q b q = (ab) p
Exemples
1
q
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
1
1
1
(a q ) q = a pq
1
a 1q
aq
= 1
(6)
b
bq
(5)
√
1
( 3)2 = 3; (5 4 )4 = 5
1 1
1
1
7
2 3 2 4 = 2( 3 + 4 ) = 2 12
√ √
√
√
1 √
1 1
2 4 3 4 = 6 4 ; 50 = 25 × 2 = 25 2 = 5 2
1 13
p
√
√
1
3 4
2 = 24
= 2 12 = 12 2
r
√
13
1
3
3
33
3
3 3
=
= 1 =
8
8
2
83
Exercice 1
La racine carrée d’un nombre peut–elle être strictement négative ?
Et la racine cubique d’un nombre ?
Combien existe-t’il de nombres x tel que x2 = 4 ?
Combien existe-t’il de nombres x tel que x3 = 8 ?
Combien existe-t’il de nombres x tel que x2 = −4 ?
Combien existe-t’il de nombres x tel que x3 = −8 ?
Exercice 2√
: 16
√ Calculer
√
√
2
α
( 6 − 2)2
1
1
27 3
16 4
√ 2
(2 + 3) .
Exercice 3
√
72
p
(−7)2
56
√
32 + 52
√
√
√
√
√
√
24+ 54− 6
12+2 27+3 75−9 48
Simplifier : 6 ×4
q
q√
q√
q
√
√
2
2
2
( 7 + 2) + ( 7 − 2)
(2 + 7) + (2 − 7)2 .
1
3
1
3
√
√
√
( α)2
p
(3 + 5)2
1√
34 4 6
p√
2
q
1
1
(4a 2 )(2a 2 )
Exercice 4
On sait que le taux annuel i à intérët composé et le taux mensuel équivalent t sont liés
par la formule :
(1 + t)12 = 1 + i.
a) Calculer le taux mensuel équivalent au taux annuel de 12% ,de 5% .
b) Calculer le taux annuel équivalent au taux mensuel de 1% ,de 0, 5% .
Exercice 5
La masse moyenne M en kg d’une femme dont la taille en cm est h est donnée par
M = 0, 0097h1,7 .
Calculer la taille d’une femme pesant 60 kg.
Que devient la taille lorsque la masse d’une personne de 1, 70 m augmente de 10% ?
2