Chapitre : Les puissances I Généralités Définition des puissances

Chapitre : Les puissances
I Généralités
Définition des puissances : Considérons un nombre x et un nombre entier n.
On a : x n = x × x × …. × x × x se lit " x puissance n" ou " x exposant n"
avec n " x "
…
x 4 = x × x × x × x se lit " x puissance 4 " ou " x exposant 4"
x 3 = x × x × x se lit " x au cube " ou " x puissance 3 "
x ² = x × x se lit " x au carré " ou " x puissance 2 "
x1=x
x0=1
1
x –1 =
x
1
1
=
x –2 =
x²
x×x
1
1
x –3 =
= 3
x × x × x x
…
1
1
x –n =
= n
x
x × x × ….. × x × x
avec n " x "
Exemples : 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
010 = 0
156 = 1
5
5 5 25
( − 5 ) 3 = − 5 × ( − 5 ) × ( − 5 ) = − 125
( )²= × =
7
7 7 49
4
– 2 = – 2 × 2 × 2 × 2 = – 16 : la puissance s’adresse au 2
(– 2 ) 4 = (– 2 ) × (– 2 ) × (– 2 ) × (– 2 ) = + 16 : la puissance s’adresse au – 2
Cas particulier des puissances de 10 :
10 5 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 c’est un 1 suivi de 5 zéros
1
10 – 5 =
= 0,000 01 c’est un 1 précédé de 5 zéros
10 × 10 × 10 × 10 × 10
1
x n
Remarque 2 : Les puissances se calculent avec la calculatrice grâce à la touche ^ ou bien y x ou
encore x ou x n .
Remarque 1 : 0 n = 0
1n = 1
x –n =
Exemple : 7,06 ^ 5 donne 17 539,75429
Remarque 3 : Dans un calcul, les puissances sont les opérations les plus prioritaires.
Exemple : 7 ² + 7,4 ( 26 – 24 ) 3 = 7 ² + 7,4 ( 26 – 16 ) 3
= 7 ² + 7,4 × 10 3
= 49 + 7,4 × 1000
= 49 + 7 400
= 7 449
II Règles de calcul
Règles des puissances : x et y étant des nombres, m et n étant des nombres entiers, on a :
xm
xn
x n
m − n
1° ) x m × x n = x m + n
2° )
=
x
3°
)
)
n
n=(
x
y
y
4° ) x n × y n = ( x × y ) n
5° ) ( x m ) n = x m × n
Remarque : Il faut savoir retrouver ces formules avec des exemples simples : m = 3 et n = 2
x 3 × x 2 = x × x × x × x × x = x 5 = x 3+2
Exemples : 8 5 × 8 4 = 8 9
( 34 ) 2 = 38
3,6 5 × 10 5 = ( 3,6 × 10 ) 5 = 36 5
95
12 8
12 8
7–2
2
8
–4
3
–1
–5
) =3
6 ×6 =6
3=9
8 = (
3 =7
4
9
4
7
III Ecriture scientifique
Définition : Pour tout nombre décimal x il existe un nombre a et un nombre entier n tel que :
x = a × 10 n et 1 ≤ | a | < 10 ( | a | désigne la partie numérique du nombre a)
Cette écriture s’appelle l’écriture (ou notation) scientifique du nombre x.
Exemples : 54 000 000,0 = 5,4 × 10 7
7 chiffres
0,000 005 78 = 5,78 × 10 – 6
6 zéros
0,0265 × 10 8 = 2,65 × 10 − 2 × 10 8 = 2,65 × 10 6
La distance entre L’étoile polaire (base de la petite ours, indique le nord) et la Terre est d’environ
4 000 000 000 000 000 km = 4 × 10 15 km
Le rayon d’un atome d’hydrogène est d’environ : 0, 000 000 005 3 mm = 5,3 × 10 -8 mm
Remarque : On peut utiliser la calculatrice avec des nombres en écriture scientifique en utilisant la
touche E ou bien ×10x ou EE ou EXP .
Exemples : 1 ×10x 6 donne 1 000 000
415 ×10x 12 donne 4,15 × 10 14 ou bien 4,15 E 14.
Exercice 1: Calcule
A=34
B = 90
F=( –1)4
G = 28
C = 10 8
H= ( –4)
–1
D = 2–3
I= ( –8)1
E=15
J = 10 – 3
Exercice 2 : a ) Ecris avec que des puissances positives, puis avec que des opérations simples, puis
trouve le signe.
A = 8–5
B = ( – 3 ) –4
C = – 7–2
D = – ( – 10 ) – 3
b ) Ecris chaque calcul avec une fraction et que des puissances positives.
A = 7–3
B = 45 × 5 – 2
C = 9 – 1 × 10 2
D = 84 × 7–8 × 92 × 4–5
Activité : Complète et trouve la règle correspondante :
Exemple
x
3
× x 2=…×…×…×…×…= x
x 3 …×…×…
=
= x
x 2
…×…
Règle
…
x
m
L=6
–3
×6
n
= x
………
x m
..........
n = x
x
…
Exercice 3 : Ecris sous la forme x n.
85
56
2
3
3
B= 3
D= 2
C=9×9
A=7 ×7
8
5
0
3
3
1
8
G = –5
F= 5
H = (– 4 ) 3 × (– 4 ) 4 I = – 6
14
8
3
K = 2–2 × 24
× x
–4
M= 4
–2
×4
–2
N = 75 × 7–4 × 7–2
( –9)8
E=
( –9)3
9 –7
J = – 10
9
23 × 22
P=
24
Exercices pour préparer le contrôle (Calculatrice autorisée)
Exercice 1 : Ecris, si possible, avec que des opérations simples puis calcule pour les expressions
de A à E.
Calcule F et G en respectant les règles de priorité.
Calcule H et I et donne les résultats en écriture scientifique.
A = 28
B = 5–2
C = – 34
D = 41,3 0
E = 91
( 18 – 16 ) 3
7 × 108 × 2 × 10 – 5
17 ,56 × 108 – 12,5 × 108
4
H=
I=
F = 7 + 4 × 5² G = – 3 +
2 × 22
28 × 1010
2 × 104
Exercice 2 : Ecrire ces expressions sous la forme x n.
12 8
5
6
B= 5
A=4 ×4
C = 7 4× 7–6
12
76
D= 9
7
9 –3
E = –2
9
Exercice 3 : Détermine les écritures scientifiques des expressions suivantes.
A = 778 000 000
B = 0,004 57
C = 0,000 000 7
D = 74,5 × 10 – 4
Exercice :
Résultats des exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 :
1
= 0,04
C = – 3 × 3 × 3 × 3 = – 81
D=1
E=9
5×5
F = 107
G = – 80
H = 5 × 10 – 8
I =2,53 × 104
Exercice 2 : Ecrire ces expressions sous la forme x n.
A = 4 11
B = 4 15
C = 7– 2
D = 5218
E = 6 – 12
F = 12 3
G = 56
H = 7–3
I = 9–1
J = 54– 6
Exercice 3 : Détermine les écritures scientifiques des expressions suivantes.
A = 7,78 × 10 8
B = 4,57 × 10 – 3
C = 7 × 10 – 7
D = 7,45 × 10 – 3
A = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256
B=
Exercice 4 :
a ) en 1 jours : t = 1 j = 8,64 × 104 s donc d = v t = 3 × 10 5 × 8,64 × 104 = 2,592 × 1010 km
d 1,5 × 108
8
b ) d = 1,5 × 10 km donc t = =
= 5 × 10 2 = 500 s = 8 min 20 s
v 3 × 105